La distribuzione t e il test delle ipotesi

In un precedente post ho presentato in modo (spero) molto semplice il concetto di test delle ipotesi. Negli esempi che ho proposto, ero a conoscenza del valore della deviazione standard, il sigma, della popolazione.

Nella pratica, si tratta di un caso abbastanza raro, che mi consente di usare la distribuzione normale, calcolando lo Z-score.

Se invece non conosco il valore del sigma della popolazione, oppure se sto lavorando con piccoli campioni devo ricorrere a un tipo di distribuzione differente, chiamata distribuzione t o distribuzione di Student.

N.B. qualora il campione sia poco numeroso (n<30) e la popolazione non sia distribuita in maniera approssimativamente normale, posso applicare il Teorema di Chebishev.


Una breve digressione storica

William Sealy Gosset (Student)

Nei primi anni del 1900, il chimico e studioso di statistica William Sealy Gosset, impiegato nel birrificio Guiness (e collaboratore di un gigante della statistica, Karl Pearson), scoprì che quando lavorava con piccolissimi campioni, le distribuzioni della media differivano significativamente dalla distribuzione normale.
Fatto ancora più interessante, al variare delle dimensioni del campione la forma della distribuzione cambiava, e aumentando il campione la distribuzione approssimava via via sempre più la normale.
Non potendo rivelare la sua identità per non favorire i concorrenti, pubblicò i suoi risultati con lo pseudonimo “Studente” e per questo le distribuzioni per campioni di piccole dimensioni sono ora note come “distribuzioni a T di Student”.
Se volete leggere tutta la storia, Wikipedia, come sempre, è una buona fonte.


La distribuzione t è simmetrica rispetto al suo zero, ma risulta più “piatta” della distribuzione normale standardizzata, cosicchè una maggiore parte della sua area è compresa nelle code.
Un campione più numeroso fa sì che la distribuzione t approssimi sempre più fedelmente la distribuzione normale.
Le differenze tra la distribuzione t e la normale sono maggiori quando abbiamo meno gradi di libertà.

Le curve delle distribuzioni t per vari gradi di libertà e comparate con la normale.


Ma cosa intendiamo per gradi di libertà? Il numero di campioni che hanno la “libertà” di cambiare senza modificare la media del campione.

Se il concetto non appare chiaro, si può comunque passare all’utilizzo pratico, perchè i gradi di libertà, fondamentali nel nostro calcolo, sono semplicemente pari alla numerosità del campione meno uno:

df = n -1

dove df = degrees of freedom, gradi di libertà
n = numerosità del campione

Il procedimento per svolgere il test delle ipotesi avvalendosi della distribuzione t ricalca in buona parte quello che abbiamo già visto nel caso del sigma noto e dell’uso della normale.

Stabilisco dunque l’ipotesi nulla, H0, e l’ipotesi alternativa, Ha.

Per calcolare la statistica del t-test uso la formula:

\( t = \frac{\bar{x} – \mu}{\frac{s}{\sqrt{n}}} \\ \) \( \frac{s}{\sqrt{n}} \ è\ l’errore\ standard\ stimato,\ che\ possiamo\ anche\ indicare\ con\ SE{\bar{x}} \)

Un esempio vale mille spiegazioni

Un’azienda di lampadine ritiene che il proprio prodotto abbia una durata media di almeno 4200 ore.

Viene preso un campione di n=10 lampadine e si riscontra una media di durata del campione pari a 4000 ore.
La deviazione standard del campione è pari a 200 ore.
Quindi, riassumendo:

\( n=10\\ \bar{x}=4000\\ s=200\\ \)

Pongo allora le mie condizioni per effettuare un test:

H0 ≥ 4200
Ha < 4200

Scelgo un livello di significatività pari al 95% (cioè alpha=0,05).

Nella tabella dei valori critici della distribuzione t andrò a cercare il valore che corrisponde a 9 gradi di libertà (guardo la riga) e alpha 0,05 (incrocio con la colonna).
Tale valore risulta essere 1.833

Rigetteremo allora l’ipotesi nulla qualora il valore t che andiamo a calcolare risulti inferiore a 1.833.

Il valore dell’errore standard è:

\( \frac{s}{\sqrt{n}}=\frac{200}{\sqrt{10}}=\frac{200}{3.16}=63,3 \\ \)

Calcolo t:

\( t=\frac{\bar{x} – \mu}{SE\bar{x}}=\frac{4000-4200}{63,3}=\frac{-200}{63,3}=-3,16\\ \)

Il valore di t cade nell’area critica: si rigetta allora l’ipotesi nulla e si accetta con un livello di significatività del 95% che la durata media delle lampadine sia minore delle 4200 ore dichiarate dal produttore.

Un’alternativa alle regioni critiche: guardare al valore p

Possiamo anche valutare una ipotesi chiedendoci: “Qual è la probabilità di ottenere il valore del test statistico che abbiamo riscontrato se è vera l’ipotesi nulla?“. Questa probabilità è chiamata valore p.

Questa, in effetti, è la strada più comoda da seguire avendo a disposizione strumenti quali una calcolatrice con funzioni statistiche oppure R: l’interpretazione del risultato risulta infatti immediata. Vediamo il nostro esempio.

Con la ti-83

Schiaccio STAT
Poi TESTS e scelgo
2:T-Test e confermo con ENTER
Scelgo STATS e inserisco i dati
Scelgo CALCULATE e confermo con ENTER

Ottengo il valore t=-3.16 e il valore di p=0.00575.
Questo significa che c’è appena una probabilità dello 0,575% che sotto l’ipotesi nulla si verifichi il risultato che abbiamo riscontrato.
p è minore del livello di significatività alpha che abbiamo scelto (p < 0,05). Dunque, l’ipotesi nulla è da rigettare a favore dell’ipotesi alternativa.

Calcolare il p-value con la Casio

Lo stesso calcolo posso eseguirlo semplicemente anche con una calcolatrice scientifica Casio:

MENU
STAT
F3 (TEST)
F2 (t)
F1 (1-s)
DATA: Variable
inserisco i miei dati
Vado con la freccia verso il basso fino ad EXECUTE
F1 (calc)

La calcolatrice mi restituisce il valore di t e di p

Stima, margine di errore e intervallo di confidenza: controlliamo il risultato del test delle ipotesi

Quando una ipotesi è scartata, è certamente utile operare una stima per cercare di capire quale sia il vero valore della media. Nel nostro esempio abbiamo scartato l’affermazione del produttore che le sue lampadine durino in media più di 4200 ore. Ma allora, quanto durano in realtà?

Per calcolare l’intervallo di confidenza, abbiamo bisogno di conoscere 3 cose:

  1. La media del nostro campione
  2. l’errore standard
  3. il valore critico

La formula per ottenere l’intervallo di confidenza è:

\( \bar{x}\ \pm \ Margine\ Di\ Errore \\ \)

e il Margine di Errore è:

\( ME\ =\ t\ critico \times\ SE\bar{x} \)

Nel nostro caso:
ME = 1,833 x 63,3 = circa 116

Quindi possiamo dire che il nostro intervallo di confidenza al 95% è tra 3884 e 4116.

Come si può notare, il valore indicato dal produttore, 4200 ore, si trova come ci aspettavamo fuori all’intervallo di confidenza.

L’intervallo di confidenza con la TI-83

STAT
TESTS
8TInterval
STATS
inserisco i dati
CALCULATE

L’intervallo di confidenza con la casio

MENU
STAT
F4 (Intr)
F2 (t)
F1 (1-s)
inserisco i dati
EXECUTE

Il t-test, il calcolo del p-value e l’intervallo di confidenza con R

R è come sempre il nostro migliore alleato, consentendoci di effettuare il test in maniera semplicissima e fornendoci tutte le informazioni utili.
Preparo dunque un vettore che contiene 10 misure che hanno per media 4000 e lo do’ in pasto alla funzione t.test di R, indicando che la media per l’ipotesi nulla, chiamata mu, è 4200, e che l’ipotesi alternativa è che il valore reale sia inferiore – alternative=”less” :

vitalampadine <- c(4100,3900,3800,4200,4000,4100,3900,3800,4200,4000)
t.test(vitalampadine,mu=4200,alternative="less")

R ci fornisce in output tutte le informazioni che ci servono.




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