La distribuzione di Poisson

La distribuzione di Poisson è utile per misurare quanti eventi possono accadere durante un dato orizzonte temporale, come ad esempio il numero dei clienti che entrano in un negozio durante la prossima ora, oppure il numero di pageviews su di un sito web nel prossimo minuto, e via dicendo…

Elemento importante: ogni intervallo di tempo si assume indipendente da tutti gli altri.

Occorre conoscere il numero medio di eventi o il tasso di occorrenze degli stessi nell’intervallo di tempo. Rappresentiamo questo valore con la lettera greca lambda:

\( X \sim Po(\lambda) \\ \\ \)

Per calcolare la possibilità che ci siano r occorrenze in uno specifico intervallo:

\( P (X=r) = \frac{e^{-\lambda} \lambda^{r}}{r!} \\ \\ \)
Ad esempio, se \( X \sim Po(2) \\ \\ \) e \(r=3\), avremo:
\( P (X=3) = \frac{e^{-2} \cdot 2^{3}}{3!} =\frac{e^{-2} \cdot 8}{6} = e^{2} \cdot 1,333 = 0,180 \\ \\ \)
cioè il 18%

Una breve nota a margine

se \( X \sim Po(\lambda x) \)
e
\( Y \sim Po(\lambda y) \\ \\ \)
allora
\( X + Y \sim Po(\lambda x + \lambda y) \\ \\ \)
Se \( X \sim Bin(n,p) \\ \\ \) e n è grande e p piccolo, allora possiamo approssimare la binomiale alla Poisson: \( X \sim Po(n \cdot p) \\ \\ \)

Letture per approfondire

Continuiamo con un esempio

Una distributore automatico di bevande presenta dei malfunzionamenti in media 3,4 volte alla settimana. Qual è la probabilità che la macchina non si guasti la prossima settimana?

\( P (X=0) = \frac{e^{- \lambda} \cdot \lambda ^{r}}{r!} \\ \\ = \frac{e^{-3,4} \cdot 3,4 ^{0}}{0!} = \frac{e^{-3,4} \cdot 1}{1} = 0,033 \)

La probabilità è davvero molto bassa…appena il 3,3%

p.s. X=0 perchè ho posto la probabilità che non si guasti.

Se avessi voluto fare il calcolo con la TI-83 mi sarebbe bastato usare il comando:

poissoncdf(3.4,0)

in R avrei invece usato il comando:

dpois(0,3.4)

Voglio ora calcolare qual è la probabilità che il distributore si guasti per 3 volte nel corso della prossima settimana.

\( P (X=3) = \frac{e^{-3,4} \cdot 3,4 ^{3}}{3!} = \frac{e^{-3,4} \cdot 39,304}{6} = 0,216 \\ \)

La probabilità è del 21,6%.

Volendo fare il calcolo con la TI-83:

poissonpdf(3.4,3)

Veniamo a un terzo quesito: qual è il valore atteso e quale la varianza circa il malfunzionamento del distributore?

\( E(X) = \lambda = 3,4 \\ Var(X) = \lambda = 3,4 \\ \)

Lascia un commento

Il tuo indirizzo email non sarà pubblicato. I campi obbligatori sono contrassegnati *