La distribuzione geometrica

Dopo aver visto in un precedente post la più famosa distribuzione discreta, la Binomiale, è giunto il momento di gettare uno sguardo alla distribuzione geometrica.

Si usa quando si fanno tentativi indipendenti, ciascuno dei quali può avere come esito il successo o il fallimento, e si è interessati a conoscere quanti tentativi occorrono per avere un primo risultato positivo.

In simboli:

\( X \sim Geo(p) \\ \\ \)
  • \(X\) è il numero di tentativi necessari per avere un primo risultato positivo.
  • \(r\) è il numero dei tentativi.
  • \(P\) è la probabilità di successo nel tentativo.
  • definiamo poi \(q=1-p\\ \)

Qui viene il bello. Abbiamo infatti:

\(\\ P(X=r) = p \times q ^ {r-1} \\ \)

P indica quindi la probabilità che il primo successo avvenga al tentativo numero r.


Abbiamo poi:

\(\\ P(X > r) = q ^ {r} \\ \)

che ci consente di calcolare la probabilità che servano più di r tentativi per avere il primo successo.


e anche

\(\\ P(X \leq r) = 1 – q ^ {r} \\ \)

che ci aiuta a trovare qual è la probabilità che servano r tentativi o meno per avere il primo successo.


Il valore atteso è:
\(\\ E(X) = \frac{1}{P} \\ \)

La varianza è:
\(\\ Var(X) = \frac{q}{P^{2}} \\ \)

E’ giunto il momento degli esempi…

Sappiamo che la probabilità che un pattinatore completi un percorso senza incidenti è 0,4. Quindi:

\( X \sim Geo(0,4) \\ \)

X è il numero di tentativi che il nostro pattinatore deve fare per riuscire a completare un percorso senza alcun incidente.

Siamo pronti ad applicare le nostre nuove conoscenze. 

Calcoliamo il numero di tentativi che mi aspetto di fare prima di avere un successo:

\( E(X) = \frac{1}{P}\\\) dunque \(\frac{1}{0,4} = 2,5 \)

La varianza nel numero dei tentativi è presto calcolata:

\( Var(X) \frac{q}{p^{2}} \\ \) cioè \(\frac{0,6}{0,4^{2}} = \frac{0,6}{0,16} = 3,75 \)

La probabilità di aver successo al secondo tentativo, dopo aver fallito il primo…

\( P(X=2) = P \times q = 0,4 \times 0,6 = 0,24 \\\) vale a dire 24%


La probabilità di aver successo in 4 tentativi o meno? Facile!

\(P(X \leq 4) = 1-q^{4} = 1 – 0,6^{4} = 1 – 0,1296 \\ \) Cioè 0,8704

Vale a dire 87%

La probabilità di aver bisogno di più di 4 tentativi? Calcolarla è uno scherzo:

\( P(X > 4) = q^{4} = 0,6^{4}\\ \)

Cioè 0,1296, ossia circa il 13%


Usiamo R o la TI 83

Ora che abbiamo un po’ di formule ben presenti, possiamo lasciare campo alla nostra pigrizia e tirare fuori la TI-83.

Per calcolare la probabilità di aver successo al secondo tentativo, dopo aver fallito il primo mi basterà calcolare:

geometpdf(0.4,2) 

e poi ovviamente x 100 se voglio avere il valore percentuale…

Per trovare la probabilità di aver successo in 4 tentativi o meno:

geometcdf(0,4,4)

e poi ovviamente x 100 se voglio avere il valore percentuale…

Per calcolare la probabilità di aver bisogno di più di 4 tentativi:

1-geometcdf(0.4,4)

e poi ovviamente x 100 se voglio avere il valore percentuale…

lo stesso risultato in R

Con P(X=2) e P=0,4

dgeom(1,0.4)

dove 1 è il numero dei fallimenti prima del successo…

P(X<=4) e P=0,4

pgeom(3,0.4)

Tutto molto semplice, molto rapido, molto divertente!

Un po’ di testi per approfondire:

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