Ogni volta che ragioniamo sull’incerto — quante conversioni porterà una campagna, quanti visitatori arriveranno domani, quanto durerà una sessione — stiamo, senza accorgercene, immaginando una forma. Non un singolo numero, ma il ventaglio di valori possibili e il peso che ciascuno di essi ha. Quella forma ha un nome: si chiama distribuzione di probabilità, ed è il modo in cui la statistica descrive il comportamento di una grandezza che non possiamo prevedere con certezza. Una distribuzione di probabilità non è altro che la mappa di tutto ciò che potrebbe accadere, con accanto, per ognuno, quanto è plausibile che accada davvero. Senza questa mappa, ogni calcolo di probabilità resta un esercizio scollegato dalla realtà che vorremmo misurare.
Conoscere le distribuzioni, però, non significa imparare a memoria un catalogo di curve. Significa capire che dietro a problemi all’apparenza diversi — il numero di clic su un annuncio, l’attesa prima della prima vendita, l’altezza di una distribuzione di tempi di caricamento — si nascondono pochi schemi ricorrenti, e che riconoscere lo schema giusto è metà del lavoro. Una volta inquadrata la distribuzione corretta, le domande pratiche (“quanto è probabile superare questa soglia?”, “quale valore è ragionevole attendersi?”) trovano una risposta solida invece di una congettura.
Questa pagina è la mappa di quelle mappe, ordinata. Non rispieghiamo qui la teoria: ogni tappa è un articolo del blog, e l’ordine in cui le abbiamo messe è l’ordine in cui conviene leggerle. Chi parte da zero può seguirle in sequenza, dalla prima all’ultima; chi ha già qualche base può saltare al gruppo che gli serve. La grande divisione da tenere a mente è una sola, e attraversa tutto: ci sono grandezze che contano — eventi, successi, occorrenze, numeri interi e separati — e grandezze che misurano — tempi, lunghezze, proporzioni, valori che scivolano senza salti su una scala continua. Le prime vivono nelle distribuzioni discrete, le seconde nelle distribuzioni continue. Cominciamo da quelle che si contano.
Distribuzioni discrete
Una distribuzione è discreta quando i valori possibili sono separati e numerabili: zero conversioni, una, due, tre, mai due e mezzo. È il mondo dei conteggi, ed è anche il più intuitivo, perché coincide con il modo in cui contiamo le cose nella vita di tutti i giorni.
Quando la domanda comincia con “quanti” o “quante volte”, quasi sempre la risposta vive in una distribuzione discreta.
La distribuzione binomiale è il punto di partenza non negoziabile, e la più intuitiva del gruppo. Descrive quante volte si verifica un certo esito — un clic, una conversione, una risposta sì — in un numero fisso di tentativi indipendenti, ciascuno con la stessa probabilità di riuscita. È lo schema che torna ogni volta che ripetiamo la stessa prova più volte e contiamo i successi, ed è la base concettuale su cui poggiano quasi tutte le altre distribuzioni discrete.
La distribuzione geometrica cambia la domanda: non più quanti successi su un numero fisso di prove, ma quante prove servono prima di vedere il primo successo. È la distribuzione dell’attesa — quanti visitatori arrivano prima della prima conversione, quante email prima della prima risposta — e capirla insegna a ragionare sul tempo che precede un evento, non solo sulla sua frequenza.
La distribuzione ipergeometrica entra in gioco quando le prove non sono indipendenti perché estraiamo senza rimettere. Pescare clienti da una lista finita, campionare prodotti da un lotto senza reinserirli: ogni estrazione cambia le probabilità delle successive. È la cugina della binomiale per le popolazioni piccole, e confonderle è un errore sottile ma frequente.
La distribuzione binomiale negativa, nota anche come distribuzione di Pascal, generalizza la geometrica: non più l’attesa del primo successo, ma del k-esimo. Quante prove servono per raccogliere, diciamo, dieci conversioni? È lo strumento giusto quando l’obiettivo non è un singolo evento ma un traguardo cumulato, e mostra come poche idee di base si combinino in modelli via via più ricchi.
La distribuzione di Poisson chiude la sezione spostandosi sui conteggi nel tempo o nello spazio: quanti eventi rari capitano in un intervallo dato — visite all’ora, errori al giorno, richieste al minuto — quando ciascuno è indipendente dagli altri. È fra le distribuzioni più usate nell’analisi del traffico e dei log, e segna il ponte naturale verso il mondo continuo, perché nasce proprio come limite della binomiale.
Distribuzioni continue
Una distribuzione è continua quando la grandezza può assumere qualsiasi valore su una scala senza salti: un tempo, una lunghezza, una proporzione. Qui non ha più senso chiedersi la probabilità di un valore esatto — è sempre nulla — ma quella di cadere in un intervallo, e la forma della curva diventa il vero protagonista.
Quando la domanda comincia con “quanto” misurando, e non con “quanti” contando, siamo passati nel territorio delle distribuzioni continue.
La distribuzione normale è la regina indiscussa, la curva a campana che ricompare ovunque. Descrive grandezze che si addensano simmetricamente attorno a un valore centrale, con gli estremi sempre più rari, ed è l’altro candidato naturale come punto d’ingresso a tutto il percorso. La sua onnipresenza non è un caso ma una conseguenza profonda di come si sommano tante piccole variazioni casuali, e proprio per questo è la distribuzione su cui poggia la statistica inferenziale che incontreremo più avanti.
La distribuzione Beta è meno celebre ma preziosissima quando ciò che misuriamo è una proporzione, un valore costretto a vivere tra zero e uno: un tasso di conversione, una probabilità che vogliamo stimare, una percentuale. È flessibile come poche — può assumere forme molto diverse a seconda dei parametri — ed è lo strumento d’elezione quando vogliamo ragionare sull’incertezza intorno a una percentuale invece che su un suo singolo valore.
La distribuzione t chiude il percorso facendo da cerniera verso l’inferenza. Assomiglia alla normale ma è un po’ più prudente, con le code più spesse, perché tiene conto del fatto che, con campioni piccoli, non conosciamo la vera variabilità della popolazione. È la distribuzione che si incontra non appena si comincia a testare ipotesi sui dati, e per questo è il naturale passaggio dal catalogo delle distribuzioni alla statistica che le usa per decidere.
Da dove cominciare
Se questo è il primo contatto con la materia, i punti d’ingresso sono due, a seconda di cosa abbiamo davanti. Se ragioniamo su conteggi e successi, la distribuzione binomiale è la tappa più intuitiva da cui partire: una volta capita lei, geometrica, Pascal e Poisson diventano sue variazioni naturali. Se invece misuriamo grandezze continue, la porta è la distribuzione normale, la curva da cui tutto il resto del mondo continuo prende riferimento. Affrontate le altre fuori sequenza e, prima o poi, si torna sempre a queste due.
Questo è uno dei percorsi tematici che stiamo costruendo per orientarsi tra gli articoli del blog: le distribuzioni sono il vocabolario con cui la probabilità descrive l’incerto, e tornano utili in ogni analisi successiva. Chi vuole le fondamenta che vengono prima — descrivere e riassumere i dati — trova tutto nel percorso di statistica di base; chi è pronto a vedere queste curve all’opera nei test e negli esperimenti può passare al percorso dedicato alla statistica inferenziale, dove la distribuzione giusta diventa lo strumento per decidere se un effetto è reale o solo apparente.