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Stima bayesiana di un conversion rate: quanto possiamo fidarci dei pochi dati che abbiamo

Abbiamo avuto modo di esaminare, nell’articolo sulle fondamenta della statistica bayesiana, come l’aggiornamento bayesiano funzioni con la simulazione: generiamo campioni dal prior, simuliamo i dati, filtriamo. Un metodo intuitivo, ma che si scontra con un limite pratico non appena i dati diventano minimamente numerosi.
In questo articolo passiamo alla soluzione analitica elegante che l’approccio bayesiano mette a disposizione per uno dei problemi più comuni nell’analisi di marketing: stimare un conversion rate con pochi dati.

Il problema nasce sempre allo stesso modo. Un piccolo e-commerce ha raccolto 23 conversioni su 412 sessioni. Il tasso grezzo è 23/412 ≈ 5,6%. Un numero preciso, apparentemente. Ma quanta fiducia gli diamo? Potremmo trovarci davanti al 3% vero o al 9% vero — con quel campione, non lo sappiamo. La stima puntuale “5,6%” non dice niente sulla propria incertezza.

Il peeking problem: perché sbirciare l’A/B test gonfia i falsi positivi

Il 21 gennaio 2015 Optimizely — una delle piattaforme di A/B testing più usate al mondo — accese per tutti i suoi clienti un motore statistico completamente nuovo, il New Stats Engine.
Non era un capriccio tecnico: il vecchio motore, costruito attorno a un classico t-test a orizzonte fisso (Fixed Horizon) e sviluppato con statistici di Stanford, aveva un difetto che riguardava chiunque guardasse i risultati di un test prima della fine. E noi i risultati di un test li guardiamo sempre prima della fine.

Il problema lo avevano misurato loro stessi, simulando dei test A/A — due varianti identiche, dove per costruzione nessuna è migliore dell’altra, quindi qualunque “vincitore” dichiarato è un falso allarme.
Stando ai dati pubblicati da Optimizely, su test da 5.000 visitatori chi controllava i numeri dopo ogni visitatore vedeva il 57% dei test A/A dichiarare un falso vincitore almeno una volta; controllando ogni 500 visitatori il numero scendeva al 26%, ogni 1.000 al 20%. Numeri da brivido per uno strumento che dovrebbe servire a decidere con rigore. La riscrittura — inferenza sequenziale più controllo del false discovery rate, quella che chiamano always-valid — serviva proprio a riportare l’errore, come scrivevano loro, “da oltre il 30% al 5%”.

È lo stesso inganno che abbiamo incontrato chiudendo l’articolo sulla regressione verso la media: lì selezionavamo le pagine messe peggio — un istante estremo nello spazio dei dati — e ci facevamo ingannare dal loro rientro. Qui selezioniamo un istante estremo nel tempo: ci fermiamo appena il test ci dà ragione. Il meccanismo è cugino, il rischio identico.

Regressione verso la media: l’ottimizzazione SEO che ha funzionato… per caso

Nell’aeronautica militare israeliana, racconta Daniel Kahneman, gli istruttori erano convinti di una cosa: lodare un allievo dopo una manovra eccellente lo peggiorava, sgridarlo dopo una pessima lo migliorava.
L’avevano osservato mille volte sul campo, quindi doveva essere vero: con i piloti la severità funziona, i complimenti rovinano.
Solo che non era vero. Una manovra eccezionale — in un senso o nell’altro — è in parte bravura e in parte fortuna; e la fortuna, alla prova successiva, non si ripete. Dopo un volo splendido si tende a tornare verso la propria media (e sembra che la lode abbia nuociuto), dopo un volo disastroso si torna verso la media (e sembra che la sgridata abbia giovato). Gli istruttori stavano attribuendo a sé stessi un effetto che era solo regressione verso la media.

Lo stesso identico inganno ci aspetta ogni volta che guardiamo i dati di un sito e decidiamo se un nostro intervento “ha funzionato”.

Correlazione: Pearson, Spearman e Kendall (e perché non è causazione)

Chi guarda i dati di un sito lo fa di continuo, spesso senza nemmeno accorgersene, e talvolta nota che due cose sembrano muoversi insieme.
Le pagine che stanno più in alto in SERP prendono più clic; quelle dove gli utenti restano più a lungo convertono di più; gli articoli più lunghi paiono posizionarsi meglio.
Sono intuizioni preziose, ma restano vaghe finché non rispondiamo a una domanda precisa: quanto si muovono insieme, queste coppie di numeri? E in che senso?
Serve un indice che trasformi l’impressione “vanno di pari passo” in una misura confrontabile. Quell’indice è la correlazione, ed è uno degli strumenti più usati — e più fraintesi — di tutta la statistica applicata.

Effect size e power analysis: quanto è grande l’effetto (e quanti dati servono)

Abbiamo chiuso l’articolo sul calcolatore di significatività con una promessa. Dicevamo che il p-value risponde a una sola domanda — l’effetto esiste? — e che a quella domanda, da solo, non ne aggiunge nessun’altra. Non ci dice quanto è grande l’effetto, né se vale lo sforzo di portarlo in produzione. È il momento di mantenere quella promessa, perché sono proprio le due domande che il p-value lascia in sospeso a separare chi legge i dati con metodo da chi si ferma alla prima soglia che luccica.

Le due domande hanno un nome preciso. La prima — quanto è grande? — è l’effect size. La seconda — con i dati che ho, avrei potuto vederlo, un effetto del genere? — è la potenza del test, e il ragionamento che ci porta a rispondere si chiama power analysis. Le esaminiamo una alla volta, come sempre con un esempio sotto mano.