La distribuzione binomiale negativa descrive il numero di prove necessarie per ottenere un certo numero di successi in una serie di prove indipendenti. Ad esempio, potrebbe essere utilizzata per calcolare la probabilità di ottenere tre teste lanciando una moneta 5 volte, supponendo che la moneta sia bilanciata e quindi che a ogni lancio la probabilità di ottenere una testa sia del 50%.
La distribuzione binomiale negativa è utile in molti campi, tra cui la statistica, l’economia, la biologia e la fisica. E anche nella “nostra” SEO.
La distribuzione binomiale negativa è una distribuzione di probabilità discreta che descrive il numero di prove necessarie per ottenere un certo numero di successi in una serie di prove indipendenti.
Si dice che una prova ha successo con probabilità p, e si vuole ottenere un totale di r successi. La distribuzione binomiale negativa fornisce la probabilità di ottenere r successi nelle prime n prove.
I parametri utilizzati nella distribuzione binomiale negativa sono:
La distribuzione binomiale negativa è spesso indicata con la seguente notazione:
\( X \sim NB(r,p) \\ \)dove X indica il numero di prove necessarie per ottenere r successi, e il simbolo “~” significa “distribuito come”.
La distribuzione binomiale negativa può essere applicata in diverse situazioni, ad esempio:
Per calcolare la probabilità di ottenere r successi nelle prime n prove, possiamo utilizzare la seguente formula:
\( P(X = n) = {n-1 \choose r-1} p^r (1-p)^{n-r} \\ \)dove X indica il numero di prove necessarie per ottenere r successi, p indica la probabilità di successo in una singola prova, e C indica il coefficiente binomiale.
Ad esempio, supponiamo di voler calcolare la probabilità di ottenere 3 teste lanciando una moneta equilibrata (probabilità di successo p=0.5). Se supponiamo che siano necessari 5 lanci per ottenere 3 teste, possiamo utilizzare la distribuzione binomiale negativa per calcolare la probabilità di successo:
\( P(X = 5) = {4 \choose 2} \cdot 0.5^3 \cdot 0.5^2 = 0.3125 \\ \)Ciò significa che la probabilità di ottenere 3 teste in 5 lanci è del 31.25%.
La distribuzione binomiale negativa e la distribuzione geometrica sono entrambe distribuzioni di probabilità discrete utilizzate per modellare il numero di prove necessarie per ottenere un certo numero di successi. Tuttavia, le due distribuzioni differiscono nella definizione del successo e nell’obiettivo della modellizzazione.
La distribuzione geometrica viene utilizzata per modellare il numero di prove necessarie per ottenere il primo successo in una sequenza di prove indipendenti identicamente distribuite. Ad esempio, la probabilità di ottenere il primo successo in una moneta equilibrata può essere modellata con una distribuzione geometrica, dove la probabilità di successo è p=0.5 e il numero di prove necessarie può assumere i valori 1, 2, 3, ….
Scritta in termini più precisi:
La differenza principale tra la distribuzione geometrica e quella di Pascal è che la distribuzione geometrica rappresenta il numero totale di tentativi necessari per ottenere un successo, mentre la distribuzione di Pascal rappresenta il numero di fallimenti prima del k-esimo successo in una successione di esperimenti bernoulliani indipendenti e identicamente distribuiti.
In altre parole, la distribuzione geometrica descrive il tempo necessario per ottenere il primo successo, mentre la distribuzione di Pascal descrive il tempo necessario per ottenere un certo numero fisso di successi. Inoltre, la distribuzione geometrica ha solo un parametro (la probabilità di successo), mentre la distribuzione di Pascal ha due parametri (il numero desiderato di successi e la probabilità di successo)
Le formule per la distribuzione binomiale negativa e la distribuzione geometrica sono simili, ma con alcune differenze nei parametri e nell’obiettivo della modellizzazione.
Ad esempio, consideriamo il caso di una moneta equilibrata con p=0.5. La probabilità di ottenere il primo successo in 3 prove può essere calcolata con una distribuzione geometrica:
\( P(X = 3) = (1-0.5)^2 \cdot 0.5 = 0.125 \\ \)dove X indica il numero di prove necessarie per ottenere il primo successo.
D’altra parte, la probabilità di ottenere 3 successi in 5 prove può essere calcolata con una distribuzione binomiale negativa:
\( P(X = 5) = {4 \choose 2} \cdot 0.5^3 \cdot 0.5^2 = 0.3125 \\ \)dove X indica il numero di prove necessarie per ottenere 3 successi.
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