Un farmaco abbassa davvero la pressione più del placebo? Un corso di formazione migliora i punteggi? Una nuova landing page produce un CTR più alto? In tutti questi casi abbiamo due gruppi (trattamento vs controllo, prima vs dopo, variante A vs B) e vogliamo capire se le medie sono diverse. Lo strumento giusto è il t-test per due campioni.

Per orientarci subito:

La scelta tra i due test non è tecnica: è concettuale. Se i dati sono appaiati e usiamo un test indipendente, perdiamo potenza perché buttiamo via l’informazione sull’accoppiamento. Se usiamo un test appaiato su dati indipendenti, violiamo l’assunzione di indipendenza e rischiamo di trovare significatività dove non c’è.

Quando usare il t-test per campioni indipendenti?

Condizioni di validità

Perché il test sia valido, servono alcune condizioni:

• Un campione casuale per ciascuna popolazione
• Le osservazioni all’interno di ciascun campione sono indipendenti
• I due campioni sono indipendenti tra loro
• Le osservazioni provengono da popolazioni approssimativamente normali, oppure la numerosità campionaria è sufficientemente grande

Il t-test è piuttosto robusto a moderate deviazioni dalla normalità, soprattutto quando il campione è numeroso (n ≥ 30 per gruppo). Diventa invece problematico con campioni molto piccoli e distribuzioni fortemente asimmetriche.

Ipotesi:

In altri termini: $\( H_0 : \mu_1 – \mu_2 = 0 \)\( , \)\( H_a : \mu_1 – \mu_2 \neq 0 \)$

La statistica test

Tutto parte dalla differenza tra le medie osservate. Calcoliamo il valore di t:

Dove:

• $\( \bar{x}_1 – \bar{x}_2 \)$ è la differenza osservata tra le medie campionarie
• $\( \mu_1 – \mu_2 \)$ è la differenza ipotizzata sotto H₀ (zero)
• $\( SE_{(\bar{x}_1 – \bar{x}_2)} \)$ è l’errore standard della differenza

L’errore standard si calcola così — e qui arriva il primo punto importante:

N.B.: questa è la formula di Welch — non assume varianze uguali tra i due gruppi, ed è più robusta quando i campioni hanno numerosità o variabilità diverse. Per impostazione predefinita, t.test() in R usa il test di Welch, non il t-test classico di Student. È la scelta più prudente nella pratica: se non c’è un motivo forte per assumere varianze uguali, Welch è preferibile.

Se invece sappiamo per certo che le varianze sono simili (campioni bilanciati con varianze vicine), possiamo usare l’argomento var.equal = TRUE, che corrisponde al t-test classico con varianza pooled (“varianze unite”). Per un confronto più sistematico tra i due approcci, rimando alla Guida ai Test Statistici.

I gradi di libertà? Li lascio calcolare a R (usa l’approssimazione di Welch-Satterthwaite, un po’ complessa a mano). In alternativa, approccio conservativo: df = min(n₁, n₂) − 1.

Verifica delle assunzioni in R

Prima di eseguire il test, verifichiamo la normalità:

# Test di Shapiro-Wilk per ciascun gruppo
shapiro.test(varA)
shapiro.test(varB)

# Q-Q plot per ispezione visiva
par(mfrow = c(1, 2))
qqnorm(varA, main = "Gruppo A")
qqline(varA)
qqnorm(varB, main = "Gruppo B")
qqline(varB)

Se il p-value dello Shapiro-Wilk è maggiore di 0,05, non abbiamo evidenze sufficienti per rifiutare l’ipotesi di normalità.

Un esempio con dati reali

Facciamo un esempio al volo. Supponiamo di avere due varianti di landing page per una campagna SEO: la versione A (quella attuale, il controllo) e la versione B (con un nuovo titolo e CTA). Vogliamo sapere se la nuova versione produce un CTR medio più alto. Prendiamo 10 giorni di traffico per ciascuna variante e misuriamo il CTR percentuale:

varA <- c(2.8, 3.1, 3.5, 2.9, 3.3, 3.0, 2.7, 3.2, 3.4, 3.1)
varB <- c(3.2, 3.8, 3.5, 4.1, 3.6, 3.9, 3.3, 3.7, 4.0, 3.4)

t.test(varA, varB)

	Welch Two Sample t-test

data:  varA and varB
t = -3.092, df = 17.6, p-value = 0.006297
alternative hypothesis: true difference in means is not equal to 0
95 percent confidence interval:
 -0.831 -0.157
sample estimates:
mean of x mean of y
     3.10      3.65

Interpretiamo l’output. La differenza media è di 0,55 punti percentuali (3,65 − 3,10), con un p-value di 0,0063 — ben sotto la soglia di 0,05. L’intervallo di confidenza al 95% va da −0,83 a −0,16: non contiene zero. Abbiamo evidenza statistica sufficiente per rifiutare H₀ a favore dell’ipotesi alternativa: il CTR medio della variante B è diverso da quello della variante A.

Effect size: Cohen’s d

Il Cohen’s d standardizza la differenza dividendo per la deviazione standard pooled:

Calcoliamo in R:

n1 <- length(varA); n2 <- length(varB)
pooled_sd <- sqrt(((n1-1)*sd(varA)^2 + (n2-1)*sd(varB)^2) / (n1+n2-2))
d <- (mean(varB) - mean(varA)) / pooled_sd
d

[1] 1.38

Regola pratica: d ≈ 0,2 è piccolo, 0,5 medio, 0,8 grande. Il nostro d = 1,38 è un effetto grande — la differenza non è solo statisticamente significativa, è anche sostanziale.

Potenza del test

Se non troviamo una differenza significativa, è perché non c’è o perché il campione era troppo piccolo? La potenza (1 − β) è la probabilità di rilevare un effetto di data grandezza, se esiste.

Calcoliamo in R la numerosità necessaria per rilevare un effetto grande con l’80% di potenza:

library(pwr)
pwr.t.test(d = 0.8, power = 0.80, sig.level = 0.05,
           type = "two.sample", alternative = "two.sided")

     Two-sample t test power calculation

              n = 25.52
              d = 0.8
      sig.level = 0.05
          power = 0.8
    alternative = two.sided

Servono circa 26 osservazioni per gruppo per avere l’80% di probabilità di rilevare un effetto grande. Con le nostre 10 osservazioni per gruppo, la potenza è molto più bassa — il fatto di aver trovato comunque significatività è un segnale che l’effetto è davvero marcato.

Quando usare il t-test per campioni dipendenti (appaiati)?

Quando gli stessi soggetti vengono misurati prima e dopo un intervento, abbiamo dati appaiati (paired data). Il test non confronta le medie dei due gruppi, ma la media delle differenze tra prima e dopo.

Condizioni di validità

• Il campione delle differenze è casuale
• Le differenze sono indipendenti tra loro
• Le differenze provengono da una popolazione approssimativamente normale (o n sufficientemente grande)

Ipotesi:

dove δ è la media delle differenze nella popolazione.

La formula è analoga a quella del test a un campione, applicata alle differenze:

dove $\( \bar{d} \)\( è la media delle differenze campionarie e \)\( SE_{\bar{d}} = \frac{s_d}{\sqrt{n}} \)$ è l’errore standard.

La deviazione standard delle differenze:

Verifica delle assunzioni in R

diff <- dopo - prima
shapiro.test(diff)

# Ispezione visiva
qqnorm(diff)
qqline(diff)

Un esempio con dati reali

Immaginiamo questo scenario: un docente di SEO vuole valutare l’efficacia del suo corso intensivo. Somministra un test di 100 punti ai partecipanti il primo giorno (pre) e lo stesso test alla fine del corso (post). Gli stessi studenti — non due gruppi diversi — vengono misurati due volte. Ecco i punteggi:

pre  <- c(68, 75, 82, 71, 79, 65, 73, 77, 70, 74)
post <- c(72, 78, 85, 76, 82, 70, 75, 80, 74, 79)

diff <- post - pre
diff

[1] 4 3 3 5 3 5 2 3 4 5

Verifichiamo la normalità delle differenze:

shapiro.test(diff)

	Shapiro-Wilk normality test

data:  diff
W = 0.905, p-value = 0.248

p > 0,05 → non rifiutiamo l’ipotesi di normalità. Procediamo:

t.test(pre, post, paired = TRUE)

	Paired t-test

data:  pre and post
t = -7.746, df = 9, p-value = 2.86e-05
alternative hypothesis: true mean difference is not equal to 0
95 percent confidence interval:
 -4.171 -2.029
sample estimates:
mean difference
         -3.1

La differenza media è di 3,1 punti in positivo, con p < 0,001. L’intervallo di confidenza al 95% va da −4,17 a −2,03 punti: non contiene zero. Esiste evidenza statistica a favore di un miglioramento significativo dopo il corso.

Effect size per dati appaiati

d_paired <- mean(diff) / sd(diff)
d_paired

[1] 2.45

Diagramma decisionale

Una versione testuale del ragionamento:

1. Stessi soggetti misurati due volte? → t-test appaiato
2. Due gruppi indipendenti? → t-test di Welch (default)
3. Dati non normali e campione piccolo? → test non parametrico (Mann-Whitney o Wilcoxon)

Quando NON usare il t-test

Il t-test è uno strumento potente, ma non universale:

• Distribuzioni fortemente asimmetriche con campioni piccoli (n < 15 per gruppo): il t-test perde affidabilità. Meglio il test di Mann-Whitney (wilcox.test in R) per campioni indipendenti, o il test di Wilcoxon signed-rank per dati appaiati.
• Più di due gruppi: serve l’analisi della varianza (ANOVA), di cui parleremo in un prossimo articolo.
• Dati ordinali: il t-test lavora su medie, che presuppongono dati almeno su scala a intervalli. Per ranking o scale Likert, meglio i test non parametrici.

FAQ

Qual è la differenza tra t-test appaiato e indipendente?
Nel t-test appaiato confrontiamo la media delle differenze entro ciascun soggetto (prima/dopo). In quello indipendente confrontiamo le medie di due gruppi separati. La scelta dipende dal disegno sperimentale, non dalla nostra preferenza.

Quando usare Welch invece del t-test classico?
Sempre, per default. Welch non assume varianze uguali ed è più robusto. Usa var.equal = TRUE solo se hai un motivo solido per credere che le varianze siano simili (campioni bilanciati con varianze vicine).

Il t-test funziona con campioni piccoli?
Sì, purché i dati siano approssimativamente normali. Con n < 15 per gruppo, verifica sempre la normalità con shapiro.test().

Cosa fare se i dati non sono normali?
Usa wilcox.test() in R: per campioni indipendenti (Mann-Whitney) o con paired = TRUE per dati appaiati (Wilcoxon signed-rank).

Prova tu

Prendi i dati dell’esempio indipendente e calcola:

1. Il test a una coda: la variante B ha un CTR maggiore della A? (alternative = “greater”)
2. Quale numerosità servirebbe per rilevare un effetto medio (d = 0,5) con potenza 0,80?

Abbiamo visto due strumenti fondamentali per confrontare gruppi: il t-test per campioni indipendenti, cavallo di battaglia degli A/B test, e il t-test appaiato, insostituibile nei disegni pre/post. In entrambi i casi il p-value da solo non basta: effect size, potenza e intervalli di confidenza completano il quadro. Nel prossimo articolo affronteremo il caso di tre o più gruppi — e lì entrerà in scena l’analisi della varianza (ANOVA).

Per approfondire

Per tutti i dettagli formali sul confronto tra campioni — pooled vs Welch, campioni appaiati, verifica delle assunzioni — Statistica di Newbold, Carlson e Thorne resta il riferimento più completo in italiano. Amazon

Quanti tentativi servono per avere un primo risultato positivo?

Si usa quando si fanno tentativi indipendenti, ciascuno dei quali può avere come esito il successo o il fallimento, e si è interessati a conoscere quanti tentativi occorrono per avere un primo risultato positivo.

In simboli:

• \(X\) è il numero di tentativi necessari per avere un primo risultato positivo.
• \(r\) è il numero dei tentativi.
• \(P\) è la probabilità di successo nel tentativo.
• diciamo poi, come è ovvio, che: q=1-p

P indica quindi la probabilità che il primo successo avvenga al tentativo numero r.
Continuiamo nel ragionamento:

il che ci consente di calcolare la probabilità che servano più di r tentativi per avere il primo successo, nonchè:

che ci aiuta a trovare qual è la probabilità che servano r tentativi o meno per avere il primo successo. Il valore atteso è:

La varianza è:

E’ giunto il momento degli esempi…

Sappiamo che la probabilità che un pattinatore completi un percorso senza incidenti è 0,4. Quindi:

X è il numero di tentativi che il nostro pattinatore deve fare per riuscire a completare un percorso senza alcun incidente.

Siamo pronti ad applicare le nostre nuove conoscenze. 

Calcoliamo il numero di tentativi che mi aspetto di fare prima di avere un successo:

\( E(X) = \frac{1}{P}\\\) dunque \(\frac{1}{0,4} = 2,5 \)

La varianza nel numero dei tentativi è presto calcolata:

La probabilità di aver successo al secondo tentativo, dopo aver fallito il primo…

\( P(X=2) = P \times q = 0,4 \times 0,6 = 0,24 \\\) vale a dire 24%

La probabilità di aver successo in 4 tentativi o meno? Facile!

La probabilità di aver bisogno di più di 4 tentativi? Calcolarla è uno scherzo:

Cioè 0,1296, ossia circa il 13%

Usiamo R o la TI 83

Ora che abbiamo un po’ di formule ben presenti, possiamo lasciare campo alla nostra pigrizia e tirare fuori la TI-83.

Per calcolare la probabilità di aver successo al secondo tentativo, dopo aver fallito il primo mi basterà calcolare:

geometpdf(0.4,2)

e poi ovviamente x 100 se voglio avere il valore percentuale…

Per trovare la probabilità di aver successo in 4 tentativi o meno:

geometcdf(0.4,4)

e poi ovviamente x 100 se voglio avere il valore percentuale…

Per calcolare la probabilità di aver bisogno di più di 4 tentativi:

1-geometcdf(0.4,4)

e poi ovviamente x 100 se voglio avere il valore percentuale…

Lo stesso risultato in R

Con P(X=2) e P=0,4

dgeom(1,0.4)

dove 1 è il numero dei fallimenti prima del successo…

P(X<=4) e P=0,4

pgeom(3,0.4)

Tutto molto semplice, molto rapido, molto divertente!

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• Il Teorema del Limite Centrale: perché la statistica funziona (anche quando i dati non sono normali)

Per approfondire

Le distribuzioni discrete come la geometrica sono trattate con esempi accessibili in Finalmente ho capito la statistica di Maurizio De Pra, una lettura adatta a chi vuole costruirsi le basi senza affrontare un manuale universitario.

Le tabelle di contingenza (dette anche tabelle a doppia entrata) sono lo strumento base per farlo. Ci permettono di valutare l’interazione tra due variabili categoriche (qualitative) e di quantificare la probabilità condizionata — cioè quanto è probabile un evento “dato che” un altro si è verificato.

La domanda sulle differenze tra mobile e desktop, per esempio, si traduce in una probabilità condizionata: P(conversione | dispositivo = mobile) è diversa da P(conversione | dispositivo = desktop)? Se sì, c’è una relazione. Se no, le due variabili sono indipendenti.

Vediamo come funziona, partendo da un esempio volutamente leggero.

Tabelle a doppia entrata e distribuzioni marginali

Una tabella a doppia entrata è una tabella che contiene righe e colonne ed aiuta organizzare i dati da variabili categoriali:

• Le righe rappresentano le possibili categorie per una variabile qualitativa, ad esempio maschi e femmine.
• Le colonne rappresentano le possibili categorie per una seconda variabile qualitativa, ad esempio se piace la pizza oppure no…

Una distribuzione marginale mostra quante risposte complessive ci sono per ogni categoria della variabile. La distribuzione marginale di una variabile può essere determinata guardando alla colonna (o alla riga) “Totale”.

Vediamo un esempio.

N.B. Mi scuso, ma non mi è venuto in mente granchè, dunque ho creato una tabella (con dati fittizi, ovviamente) di rara stupidità, immaginando che le due variabili categoriche riguardino il livello di istruzione e le serie di fantascienza preferite…

Costruisco la tabella in R:

scififan <- matrix(c(44,38,26,53,35,30,58,22,29),ncol=3,byrow=TRUE)
rownames(scififan) <- c("laurea","diploma","istruzione inferiore")
colnames(scififan) <- c("star trek","star wars","doctor who")
scififan <- as.table(scififan)
scififan

e ottengo una cosa di questo tipo:

		star trek   star wars   doctor who
laurea		44	    38		26
diploma         53	    35		30
istr.inferiore	58          22		29

Ricordate? Una distribuzione marginale mostra quante risposte complessive ci sono per ogni categoria della variabile (ai margini, appunto, dove c'è la colonna o la riga Totale...).

posso calcolare i totali di riga in R con:

margin.table(scififan,1)

e di colonna con:

margin.table(scififan,2)

posso anche trovare il "totale dei totali" con:

margin.table(scififan)

Riporto la tabella con i Totali:

	star trek   star wars   doctor who   TOTALE
laurea	44	    38	        26	     108
diploma	53	    35	        30	     118
ist.inf 58	    22	        29	     109
TOTALE	155	    95	        85	     335

Quindi i totali marginali per titolo di studio sono 108 per la laurea, 118 per il diploma, 109 per l'istruzione inferiore.

Allo stesso modo, i totali marginali per tipo di serie fantascientifica sono 155 per star trek, 95 per guerre stellari, 85 per doctor who.

Il totale dei totali deve essere lo stesso per entrambe le direzioni, in questo caso 335.

Avrei potuto anche ottenere una tabella completa a video con riportati i totali con poche righe di codice R:

scififan <- matrix(c(44,38,26,53,35,30,58,22,29),ncol=3,byrow=TRUE)

nomirighe <- c("laurea","diploma","istruzione inferiore")
nomicol<- c("star trek","star wars","doctor who")
dimnames(scififan) <- list(nomirighe,nomicol)

# ora calcolo il totale di colonna usando apply
totcol <- apply(scififan,2,sum)
# aggiungo una riga con i totali di colonna con rbind
scififan2 <- rbind(scififan,totcol)
# calcolo il totale di riga
totrighe <- apply(scififan2,1,sum)
#aggiungo una colonna con i totali di riga
conttable <- cbind(scififan2, totrighe)

#stampo a video la mia tabella
conttable

Posso allora chiedermi (e rispondermi): quale percentuale di laureati ha un debole per doctor who?
Elementare Watson (ah no, quella era un'altra serie...):

26/108 = 0,24 = 24% dei laureati predilige doctor who

E quanti fan di guerre stellari sono diplomati?

35/95 = 0,37 = 37% dei fan di guerre stellari sono tra i diplomati

In R, posso ottenere direttamente le probabilità per riga semplicemente con la funzione:

prop.table(scififan,1)

e il risultato sarà:

                     	
           star trek 	star wars    doctor who
laurea     0.4074074 	0.3518519    0.2407407
diploma    0.4491525 	0.2966102    0.2542373
ist.inf.   0.5321101 	0.2018349    0.2660550

(come si vede i totali di riga danno 1, o 100%)

oppure quelli per colonna con:

prop.table(scififan,2)

e il risultato sarà:

                     	
           star trek   star wars   doctor who
laurea     0.2838710   0.4000000   0.3058824
diploma    0.3419355   0.3684211   0.3529412
istr.inf.  0.3741935   0.2315789   0.3411765

(come si vede i totali di colonna danno 1 o 100%)

Come sempre c'è sempre più di un modo per ottenere il risultato, e posso anche operare installando il pacchetto "gmodels" e usando la funzione CrossTable (lascio all'help in linea di R il compito di mostrare tutte le opzioni del comando...):

install.packages("gmodels")
library(gmodels)
scififan <- matrix(c(44,38,26,53,35,30,58,22,29),ncol=3,byrow=TRUE)
rownames(scififan) <- c("laurea","diploma","istruzione inferiore")
colnames(scififan) <- c("star trek","star wars","doctor who")

CrossTable(scififan, prop.r="false", prop.c="false", prop.t="false",prop.chisq="false")

Bene: a cosa mi serve tutto questo? La risposta è: ad esempio per il calcolo della probabilità condizionata.

La probabilità condizionata

Prima di vedere di cosa si tratta e perchè è un concetto utilissimo nella realtà di tutti i giorni, serve qualche definizione preliminare riguardo la probabilità.

Un evento è qualcosa che accade con uno o più possibili esiti.
Un esperimento è il processo di misurare o fare un'osservazione.

Definizione importante: nel caso di eventi equiprobabili, la probabilità è il rapporto tra il numero dei casi favorevoli e il numero dei casi possibili

Ricordiamo poi che:

• La probabilità dell'intersezione di due eventi non può essere maggiore della probabilità di ciascun evento preso singolarmente.
• Se due eventi possibili, A e B, sono indipendenti, allora la possibilità che accadano entrambi è data dal prodotto delle loro probabilità individuali.
• Se un evento può avere un certo numero di esiti possibili diversi e distinti (A,B,C,ecc.), allora la probabilità che accada A oppure B è pari alla somma delle possibilità individuali di A e B, e la somma delle probabilità di tutti gli esiti possibili (A,B,C, ecc.) è pari a 1, cioè al 100%.

La probabilità condizionata di un evento A rispetto a un evento B è la probabilità che si verifichi A, posto che si è verificato B.

La formula è:

Quando una probabilità riguarda una sola variabile si parla di probabilità marginale; quando riguarda contemporaneamente due variabili si parla di probabilità congiunta.

• La probabilità di un evento P(A) è: \(\frac {probabilità \ marginale \ A}{Totale}\\ \)
• La probabilità congiunta di due eventi è: \(\frac {P(A \ and \ B)}{Totale}\\ \)
• La probabilità condizionale dell'esito A dato il verificarsi della condizione B è: \(\frac {P(A \ and \ B)}{P(B)}\\ \)

Una probabilità congiunta è la probabilità che qualcuno selezionato da tutto il gruppo abbia due caratteristiche particolari allo stesso tempo. Cioè entrambe le caratteristiche avvengono congiuntamente. Si trova una probabilità congiunta prendendo il valore della cella intersezione di A e B e dividendo per il totale generale.

Per trovare una probabilità condizionale, considero il valore della cella che si trova all'incrocio di A e B e lo divido per il totale marginale di B, cioè della variabile che esprime l'evento che si è verificato.

E' giunto il momento di un secondo esempio. Prendo i dati da:
Ellis GJ and Stone LH. 1979. Marijuana Use in College: An Evaluation of a Modeling Explanation. Youth and Society 10:323-334.

Lo studio si chiede se è più probabile che uno studente fumi marijuana se i genitori avevano fatto uso di droghe in passato. Ecco la tabella:

                    genitori  genitori  TOTALE
                      uso     non uso
studente fa uso       125       94       219
studente non uso       85      141       226
TOTALE                210      235       445

Applichiamo le nostre conoscenze per rispondere a queste domande:

1. Se i genitori hanno fatto uso di droghe leggere in passato, qual è la probabilità che lo stesso faccia il figlio al college?

Si tratta di un caso di probabilità condizionale.
Ricordiamo \(P(A|B) = \frac {P(A \ and \ B)}{P(B)}\\ \), quindi

P(studente usi posto che genitori hanno usato) = 125 / 210 = 0,59 = 59%

2. Uno studente viene estratto a sorte e non usa marijuana. Qual è la probabilità che i suoi genitori ne abbiano fatto uso?

Anche in questo caso mi trovo di fronte a un quesito che chiede una probabilità condizionale. Quindi:

P(genitori ne hanno fatto uso posto che il figlio non usa) = 85 / 226 = 0,376 = 37,6%

3. Qual è la probabilità di estrarre uno studente che non fa uso di marijuana e i cui genitori ne hanno fatto uso in passato?

Si tratta in questo caso di trovare una probabilità congiunta, quindi:

\( \frac {P(A \ and \ B)}{Totale}\\ \), quindi \( \frac {85}{445} = 0.19\\ \).

La probabilità è del 19% circa.

Dipendenza e indipendenza

Se i risultati di A e B si influenzano a vicenda, diciamo che le due variabili sono in un rapporto di dipendenza.
Viceversa, possiamo dire che le due variabili sono indipendenti.

Mi esprimo in maniera più rigorosa: possiamo affermare che l'evento B è indipendente dall'evento A se:

P(B|A) = P(B)

oppure

P(A|B) = P(A)

qualora non sia così, gli eventi sono tra loro dipendenti.

Dunque:

• P(A and B) = P(A) P(B) se e solo se A e B sono eventi indipendenti.
• P(A | B) = P(A) e P(B | A) = P(B) se e solamente se A e B sono eventi indipendenti.

Esaminiamo l'indipendenza di variabili categoriche...

Spieghiamoci meglio avvalendoci di un esempio.

Chiamiamo A il fatto che le persone amano o meno il ciclismo.
B invece esprime il fatto che si ami oppure no l'abbacchio al forno. (logico, no?)

Costruisco la mia tabella di contingenza:

                Ok ciclismo    No ciclismo  TOTALE
Sì abbacchio        95             36        131
No abbacchio        15             19         34
-----------------------------------------------
TOTALE             110             55        165

Ricordiamoci cosa significa dire che due eventi sono indipendenti. Significa questo:
P(A | B) = P(A)

Ma nel nostro caso vediamo che
P(A) = 66,7%
perchè 110/165 = 0,67

P(A | B) = 72,5%
perchè 95/131 = 0,725

Ricordiamo infatti che
\(P(A|B) = \frac {P(A \ and \ B)}{P(B)}\\ \), quindi
\( \frac {95}{131} = 0.725\\ \).

Dal risultato è chiaro che
\( P(A) \neq P(A|B)\)
i due eventi risultano NON indipendenti, (quindi sono dipendenti).

D'altronde, è noto a tutti che tra amare il ciclismo e l'abbacchio arrosto c'è una chiara dipendenza 🙂

Prova tu

Vediamo ora un esempio più vicino al SEO. Supponiamo di avere i dati di 500 sessioni su un sito ecommerce, incrociando il tipo di dispositivo con l'esito della sessione:

                  Ha convertito  Non ha convertito  TOTALE
Desktop               82              218          300
Mobile                28              172          200
TOTALE               110              390          500

Ora prova a rispondere:

1. Qual è la probabilità che una sessione da mobile converta?

2. Tra le sessioni che hanno convertito, qual è la proporzione di quelle da desktop?

3. Se dispositivo e conversione fossero indipendenti, quante conversioni da desktop ci aspetteremmo?

Le risposte:

1. P(conversione | mobile) = 28 / 200 = 14%.
2. P(desktop | conversione) = 82 / 110 = 74,5%.
3. Se fossero indipendenti, P(conversione) × P(desktop) × totale = (110/500) × (300/500) × 500 = 66 conversioni attese da desktop (ne abbiamo osservate 82 — la differenza è proprio quello che il test chi-quadrato valuta).

Abbiamo visto che le tabelle di contingenza ci permettono di calcolare probabilità marginali, condizionate e congiunte, e di verificare se due variabili categoriche sono indipendenti. Ma c'è un aspetto che abbiamo solo sfiorato: come facciamo a stabilire se la differenza tra P(conversione | mobile) e P(conversione | desktop) è statisticamente significativa? Non basta che i due numeri siano diversi: potrebbe essere rumore dovuto al caso.

La risposta è il test chi-quadrato di indipendenza, che confronta le frequenze osservate con quelle attese sotto l'ipotesi di indipendenza. È il completamento naturale di quanto visto qui, ed è uno degli strumenti più usati in SEO per confrontare performance tra segmenti (dispositivo, canale, pagina, periodo). Nel prossimo articolo vedremo come funziona e come applicarlo ai dati del tuo sito.

Per approfondire

Tabelle di contingenza, probabilità condizionata e indipendenza sono trattate con rigore in Statistica di Newbold, Carlson e Thorne, il manuale di riferimento per chi vuole approfondire l'inferenza.