La Probabilità

La probabilità è una misura matematica che ci indica la possibilità che un evento si verifichi. In altre parole, la probabilità ci dice quanti casi favorevoli ci sono rispetto a tutti i casi possibili.

La probabilità si basa su due concetti fondamentali: lo spazio campionario e l’evento.

Lo spazio campionario è l’insieme di tutti i possibili risultati di un esperimento casuale.
Ad esempio, se lanciamo una moneta, lo spazio campionario è {testa, croce}. Se lanciamo due dadi, lo spazio campionario è {(1,1), (1,2), …, (6,6)}.

Un evento è un sottoinsieme dello spazio campionario che ci interessa.
Per esempio, se lanciamo una moneta e ci interessa sapere se uscirà testa o croce, l’evento è {testa} o {croce}. Se lanciamo due dadi e vogliamo sapere se la somma dei numeri è pari o dispari, l’evento è {(2,2), (2,4), …, (6,6)} o {(1,2), (1 ,4), …, (5 ,6)}.

La probabilità di un evento si calcola dividendo il numero dei casi favorevoli al verificarsi dell’evento per il numero dei casi possibili nello spazio campionario.

Per esempio:

se abbiamo un dado a sei facce e vogliamo sapere la probabilità di ottenere un 4 tirando il dado, abbiamo 1 caso favorevole (la faccia con il numero 4) rispetto a 6 casi possibili (le sei facce del dado).
Quindi, la probabilità di ottenere un 4 è di 1/6.

Altri possibili e semplici esempi:

• La probabilità che esca testa lanciando una moneta è 1/2
• La probabilità che la somma dei numeri sia pari lanciando due dadi è 18/36 = 1/2

La probabilità si esprime in numeri compresi tra 0 e 1, dove 0 indica l’impossibilità dell’evento e 1 indica la certezza dell’evento.

Un valore di probabilità vicino a 0 indica una bassa possibilità che l’evento si verifichi, mentre un valore di probabilità vicino a 1 indica una alta possibilità che l’evento si verifichi.

Il principio di additività delle probabilità per eventi incompatibili

Il principio di additività delle probabilità per eventi incompatibili afferma che la probabilità dell’unione di due o più eventi incompatibili è uguale alla somma delle loro probabilità.

Gli eventi incompatibili sono eventi che non possono verificarsi contemporaneamente, ovvero se uno si verifica, l’altro non può verificarsi.
Ad esempio, nel lancio di un dado, gli eventi “uscita del numero 3” e “uscita del numero 5” sono incompatibili. In questo caso, la probabilità dell’unione degli eventi (cioè l’uscita del numero 3 o del numero 5) è pari alla somma delle loro probabilità (1/6 + 1/6 = 1/3).

Il principio di moltiplicazione delle probabilità

Il principio di moltiplicazione delle probabilità afferma che la probabilità dell’intersezione di due eventi è uguale al prodotto delle loro probabilità individuali, se gli eventi sono indipendenti.

In altre parole, se A e B sono due eventi indipendenti in un esperimento di probabilità, allora la probabilità che entrambi si verifichino contemporaneamente è data dal prodotto delle loro singole probabilità:

P(A ∩ B) = P(A) x P(B). 

Per calcolare la probabilità di eventi più complessi o combinati tra loro si usano le regole della combinatoria, che studia le modalità con cui si possono formare gruppi di oggetti secondo determinati criteri.

Due concetti importanti della combinatoria sono le permutazioni e le combinazioni.

La Permutazione

Le permutazioni sono i modi in cui si possono ordinare n oggetti distinti in n posizioni diverse. Per esempio:

• Le permutazioni delle lettere A,B,C sono ABC ACB BAC BCA CAB CBA
• Il numero delle permutazioni di n oggetti distinti si calcola con il fattoriale n!, cioè il prodotto dei numeri naturali da 1 a n
• Il numero delle permutazioni di A,B,C è 3! = 3 x 2 x 1 = 6

Vediamo un po’ di altri esempi:

Quanti modi diversi ci sono per disporre 4 libri su una mensola?

La risposta è: n!
Ricordo ancora che “!” indica il fattoriale, cioè il prodotto di tutti i numeri interi positivi da 1 a n.

Soluzione: 4! (4 fattoriale) = 24 modi diversi

Quante permutazioni posso effettuare in un insieme di 5 lettere?

5! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120

Ci sono 120 permutazioni possibili di 5 lettere.

Quante permutazioni sono possibili tra 5 lettere prese a gruppi di 3 ?

n! / (n – r)!

dove “n” rappresenta il numero di oggetti totali (in questo caso, le 5 lettere), e “r” rappresenta il numero di oggetti che desideriamo scegliere e disporre in un ordine specifico (in questo caso, 3 lettere).

Quindi, sostituendo i valori, otteniamo:

5! / (5 – 3)! = 5! / 2! = (5 x 4 x 3 x 2 x 1) / (2 x 1) = 60

Quindi, ci sono 60 permutazioni possibili di 5 lettere prese a gruppi di 3.

È importante notare che, quando si sceglie un gruppo di oggetti da un insieme più grande, l’ordine in cui gli oggetti vengono scelti conta. Se invece non ci interessasse l’ordine, dovremmo utilizzare la formula delle combinazioni.

Il concetto di Combinazione

Le combinazioni sono i modi in cui si possono scegliere k oggetti tra n oggetti distinti senza tener conto dell’ordine. Per esempio,

• Le combinazioni di due lettere tra A,B,C sono AB AC BC
• Il numero delle combinazioni di k oggetti tra n oggetti distinti si calcola con il coefficiente binomiale C(n,k) = n! / (k! x (n-k)!)
• Il numero delle combinazioni di due lettere tra A,B,C è C(3 ,2) = 3! / (2! x (3 -2)!) = 3

Vediamo qualche altro esempio:

Quante sono le combinazioni possibili per un insieme di 10 persone prese a gruppi di 3?

Per calcolare il numero di combinazioni possibili per un insieme di 10 persone prese a gruppi di 3, possiamo utilizzare la formula delle combinazioni:

n! / (k! * (n – k)!)

dove “n” rappresenta il numero di oggetti totali (in questo caso, le 10 persone) e “k” rappresenta il numero di oggetti che vogliamo scegliere senza preoccuparci dell’ordine (in questo caso, 3 persone).

Quindi, sostituendo i valori, otteniamo:

10! / (3! * (10 – 3)!) = (10 x 9 x 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1) / ((3 x 2 x 1) * (7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1)) = 120

Una classe è composta da 12 ragazzi e 4 ragazze. Tra i sedici allievi se ne scelgono tre a caso: qual è la probabilità che essi siano tutti maschi?

Questo esempio è preso dall’ Esame di stato, tema di matematica n 1 (PNI, a. s. 2000-2001- Corso di ordinamento. Liceo scientifico)

La probabilità di scegliere tre allievi tutti maschi può essere calcolata come il rapporto tra il numero di modi in cui possiamo scegliere tre maschi (se vogliamo scegliere tre allievi tutti maschi, dobbiamo infatti considerare tutti i possibili gruppi di 3 allievi maschi che possono essere formati scegliendoli tra i 12 ragazzi maschi) e il numero totale di modi in cui possiamo scegliere tre studenti tra tutti i sedici.

Il numero di modi in cui possiamo scegliere tre maschi dalla classe di 12 ragazzi è dato dalla combinazione di 3 elementi scelti tra i 12 ragazzi maschi. Possiamo calcolare questo numero utilizzando la formula della combinazione:

C(12, 3) = 12! / (3! * (12-3)!) = 220

Il numero totale di modi in cui possiamo scegliere tre allievi dalla classe di 16 studenti è dato dalla combinazione di 3 elementi scelti tra i 16 allievi.

C(16, 3) = 16! / (3! * (16-3)!) = 560

Quindi, la probabilità di scegliere tre allievi tutti maschi è data da:

P(tre maschi) = C(12, 3) / C(16, 3) = 220 / 560 = 11 / 28

La distribuzione binomiale come esempio di applicazione della probabilità e della combinatoria

In un post specificamente dedicato alle distribuzioni di probabilità ho esaminato in dettaglio le proprietà della distribuzione binomiale. Rimando ovviamente al post per tutti i dettagli.
In questa sede, vorrei però introdurre brevemente in maniera diretta e pratica la binomiale, al solo scopo di rispondere a quesiti del tipo:

• Voglio conoscere la probabilità che in 10 lanci di una moneta esca testa 5 volte o meno.
• Voglio calcolare la probabilità che in 20 domande a risposta multipla (ogni domanda ha 4 scelte) si risponda correttamente a 15 domande o più, rispondendo totalmente a caso.
• Voglio trovare la probabilità che in 100 estrazioni (con reinserimento) da un’urna contenente 10 palline bianche e 90 nere se ne estraggano meno di 20 bianche.

Vediamo il primo quesito. Voglio sapere la probabilità che in 10 lanci di una moneta esca 5 volte o meno testa.
Procedendo per logica, dovrei calcolare la somma delle probabilità binomiali per k = 0, 1, 2, 3, 4 e 5. Cioè:

P(X <= 5) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) + P(X = 3) + P(X = 4) + P(X = 5)

Usando la formula della probabilità binomiale e sostituendo n = 10 e p = 1/2, si ottiene:

P(X <= 5) = C(10 ,0) x (1/2)^0 x (1/2)^10 + C(10 ,1) x (1/2)^1 x (1/2)^9 + … + C(10 ,5) x (1/2)^5 x (1/2)^5

Semplificando i calcoli e usando una calcolatrice si ottiene:

P(X <= 5) = <0.001 + <0.01 + <0.04 + <0.12 + <0.21 + <0.25

P(X <= 5) = 0.63

Quindi la probabilità che in 10 lanci di una moneta esca testa al massimo cinque volte è circa il 63%.

Esiste un metodo più semplice per arrivare al risultato corretto?

Possiamo introdurre la funzione di ripartizione della distribuzione binomiale.

La funzione di ripartizione è una funzione che calcola la probabilità che la variabile aleatoria X sia minore o uguale a un certo valore k. Si indica con F(k) e si definisce come:

F(k) = P(X <= k) = somma delle probabilità binomiali per i = 0, 1, …, k

Questa funzione può essere calcolata con una formula approssimata o con una tabella precompilata. Per esempio, usando una tabella online come questa:

https://www.statisticshowto.com/tables/binomial-distribution-table/

dove si può trovare il valore di F(5) per n = 10 e p = 1/2.

Basta cercare nella riga corrispondente a n = 10 e nella colonna corrispondente a p = 0.5 e leggere il valore in corrispondenza di k = 5. Il valore è 0.623.

Ovviamente, è molto più comodo usare R oppure Python, specialmente per numeri più elevati.

In R, basta usare la funzione pbinom che calcola la probabilità cumulativa di ottenere un certo numero di successi in un certo numero di prove. Per esempio:

# Probabilità di ottenere 5 o meno teste in 10 lanci
pbinom(5, size = 10, prob = 0.5)
# Risultato: 0.6230469

Per usare Python, basterà sfruttare la libreria scipy.stats e la classe binom che rappresenta una variabile casuale binomiale. Per esempio:

# Importare la libreria
from scipy.stats import binom

# Probabilità di ottenere 5 o meno teste in 10 lanci
binom.cdf(5, n = 10, p = 0.5)
# Risultato: 0.623046875

Veniamo al secondo quesito.

Vogliamo calcolare la probabilità che in 20 domande a risposta multipla si risponda correttamente a 15 domande o più. Se assumiamo che ogni domanda abbia 4 opzioni e solo una sia corretta, allora la probabilità di successo è p = 0.25. Quindi si deve calcolare:

P(X >= 15) = P(X = 15) + P(X = 16) + P(X = 17) + P(X = 18) + P(X = 19) + P(X = 20)

La formula della probabilità binomiale è:

Usando la formula della probabilità binomiale, otteniamo:

Quindi la probabilità è molto, molto bassa…meglio studiare!

Veniamo al terzo quesito.

Voglio trovare la probabilità che in 100 estrazioni da un’urna contenente 10 palline bianche e 90 nere se ne estraggano meno di 20 bianche. Se assumiamo che le estrazioni siano con reinserimento, allora la probabilità di successo (estrarre una pallina bianca) è p = 0.1. Quindi devo calcolare:

Quindi in questo caso la probabilità è molto alta.

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Quanti tentativi servono per avere un primo risultato positivo?

Si usa quando si fanno tentativi indipendenti, ciascuno dei quali può avere come esito il successo o il fallimento, e si è interessati a conoscere quanti tentativi occorrono per avere un primo risultato positivo.

In simboli:

• \(X\) è il numero di tentativi necessari per avere un primo risultato positivo.
• \(r\) è il numero dei tentativi.
• \(P\) è la probabilità di successo nel tentativo.
• diciamo poi, come è ovvio, che: q=1-p

P indica quindi la probabilità che il primo successo avvenga al tentativo numero r.
Continuiamo nel ragionamento:

il che ci consente di calcolare la probabilità che servano più di r tentativi per avere il primo successo, nonchè:

che ci aiuta a trovare qual è la probabilità che servano r tentativi o meno per avere il primo successo. Il valore atteso è:

La varianza è:

E’ giunto il momento degli esempi…

Sappiamo che la probabilità che un pattinatore completi un percorso senza incidenti è 0,4. Quindi:

X è il numero di tentativi che il nostro pattinatore deve fare per riuscire a completare un percorso senza alcun incidente.

Siamo pronti ad applicare le nostre nuove conoscenze. 

Calcoliamo il numero di tentativi che mi aspetto di fare prima di avere un successo:

\( E(X) = \frac{1}{P}\\\) dunque \(\frac{1}{0,4} = 2,5 \)

La varianza nel numero dei tentativi è presto calcolata:

La probabilità di aver successo al secondo tentativo, dopo aver fallito il primo…

\( P(X=2) = P \times q = 0,4 \times 0,6 = 0,24 \\\) vale a dire 24%

La probabilità di aver successo in 4 tentativi o meno? Facile!

La probabilità di aver bisogno di più di 4 tentativi? Calcolarla è uno scherzo:

Cioè 0,1296, ossia circa il 13%

Usiamo R o la TI 83

Ora che abbiamo un po’ di formule ben presenti, possiamo lasciare campo alla nostra pigrizia e tirare fuori la TI-83.

Per calcolare la probabilità di aver successo al secondo tentativo, dopo aver fallito il primo mi basterà calcolare:

geometpdf(0.4,2) 

e poi ovviamente x 100 se voglio avere il valore percentuale…

Per trovare la probabilità di aver successo in 4 tentativi o meno:

geometcdf(0,4,4)

e poi ovviamente x 100 se voglio avere il valore percentuale…

Per calcolare la probabilità di aver bisogno di più di 4 tentativi:

1-geometcdf(0.4,4)

e poi ovviamente x 100 se voglio avere il valore percentuale…

lo stesso risultato in R

Con P(X=2) e P=0,4

dgeom(1,0.4)

dove 1 è il numero dei fallimenti prima del successo…

P(X<=4) e P=0,4

pgeom(3,0.4)

Tutto molto semplice, molto rapido, molto divertente!

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La ricerca di relazioni tra due variabili categoriali è un obiettivo molto comune per i ricercatori. Pensiamo, ad esempio, alla classica domanda che si pongono gli addetti al marketing su chi sia più propenso ad acquistare certe categorie di prodotti, se giovani o anziani oppure uomini o donne…

Tabelle di contingenza a doppia entrata e distribuzioni marginali

Una tabella a doppia entrata è una tabella che contiene righe e colonne ed  aiuta organizzare i dati da variabili categoriali:

• Le righe rappresentano le possibili categorie per una variabile qualitativa, ad esempio maschi e femmine.
• Le colonne rappresentano le possibili categorie per una seconda variabile qualitativa, ad esempio se piace la pizza oppure no…

Un distribuzione marginale mostra quante risposte complessive ci sono per ogni categoria della variabile. La distribuzione marginale di una variabile può essere determinata guardando alla colonna (o alla riga) “Totale”.

Vediamo un esempio.

N.B. Mi scuso, ma non mi è venuto in mente granchè, dunque ho creato una tabella (con dati fittizi, ovviamente) di rara stupidità, immaginando che le due variabili categoriche riguardino il livello di istruzione e le serie di fantascienza preferite…

Costruisco la tabella in R:

scififan <- matrix(c(44,38,26,53,35,30,58,22,29),ncol=3,byrow=TRUE)
rownames(scififan) <- c("laurea","diploma","istruzione inferiore")
colnames(scififan) <- c("star trek","star wars","doctor who")
scififan <- as.table(scififan)
scififan

e ottengo una cosa di questo tipo:

		star trek   star wars   doctor who
laurea		44	    38		26
diploma         53	    35		30
istr.inferiore	58          22		29

Ricordate? Una distribuzione marginale mostra quante risposte complessive ci sono per ogni categoria della variabile (ai margini, appunto, dove c’è la colonna o la riga Totale…).

posso calcolare i totali di riga in R con:

margin.table(scififan,1)

e di colonna con:

margin.table(scififan,2)

posso anche trovare il “totale dei totali” con:

margin.table(scififan)

Riporto la tabella con i Totali:

	star trek   star wars   doctor who   TOTALE
laurea	44	    38	        26	     108
diploma	53	    35	        30	     118
ist.inf 58	    22	        29	     109
TOTALE	155	    95	        85	     335

Quindi i totali marginali per titolo di studio sono 108 per la laurea, 118 per il diploma, 109 per l’istruzione inferiore.

Allo stesso modo, i totali marginali per tipo di serie fantascientifica sono 155 per star trek, 95 per guerre stellari, 85 per doctor who.

Il totale dei totali deve essere lo stesso per entrambe le direzioni, in questo caso 335.

Avrei potuto anche ottenere una tabella completa a video con riportati i totali con poche righe di codice R:

scififan <- matrix(c(44,38,26,53,35,30,58,22,29),ncol=3,byrow=TRUE)

nomirighe <- c("laurea","diploma","istruzione inferiore")
nomicol<- c("star trek","star wars","doctor who")
dimnames(scififan) <- list(nomirighe,nomicol)

# ora calcolo il totale di colonna usando apply
totcol <- apply(scififan,2,sum)
# aggiungo una riga con i totali di colonna con rbind
scififan2 <- rbind(scififan,totcol)
# calcolo il totale di riga
totrighe <- apply(scififan2,1,sum)
#aggiungo una colonna con i totali di riga
conttable <- cbind(scififan2, totrighe)

#stampo a video la mia tabella
conttable

Posso allora chiedermi (e rispondermi): quale percentuale di laureati ha un debole per doctor who?
Elementare Watson (ah no, quella era un’altra serie…):

26/108 = 0,24 = 24% dei laureati predilige doctor who

E quanti fan di guerre stellari sono diplomati?

35/95 = 0,37 = 37% dei fan di guerre stellari sono tra i diplomati

In R, posso ottenere direttamente le probabilità per riga semplicemente con la funzione:

prop.table(scififan,1)

e il risultato sarà:

                     	
           star trek 	star wars    doctor who
laurea     0.4074074 	0.3518519    0.2407407
diploma    0.4491525 	0.2966102    0.2542373
ist.inf.   0.5321101 	0.2018349    0.2660550

(come si vede i totali di riga danno 1, o 100%)

oppure quelli per colonna con:

prop.table(scififan,2)

e il risultato sarà:

                     	
           star trek   star wars   doctor who
laurea     0.2838710   0.4000000   0.3058824
diploma    0.3419355   0.3684211   0.3529412
istr.inf.  0.3741935   0.2315789   0.3411765

(come si vede i totali di colonna danno 1 o 100%)

Come sempre c’è sempre più di un modo per ottenere il risultato, e posso anche operare installando il pacchetto “gmodels” e usando la funzione CrossTable (lascio all’help in linea di R il compito di mostrare tutte le opzioni del comando…):

install.packages("gmodels")
library(gmodels)
scififan <- matrix(c(44,38,26,53,35,30,58,22,29),ncol=3,byrow=TRUE)
rownames(scififan) <- c("laurea","diploma","istruzione inferiore")
colnames(scififan) <- c("star trek","star wars","doctor who")

CrossTable(scififan, prop.r="false", prop.c="false", prop.t="false",prop.chisq="false")

Bene: a cosa mi serve tutto questo? La risposta è: ad esempio per il calcolo della probabilità condizionata.

La probabilità condizionata

Prima di vedere di cosa si tratta e perchè è un concetto utilissimo nella realtà di tutti i giorni, serve qualche definizione preliminare riguardo la probabilità.

Un evento è qualcosa che accade con uno o più possibili esiti.
Un esperimento è il processo di misurare o fare un’osservazione.

Definizione importante: la probabilità di un evento è il rapporto tra il numero dei casi favorevoli e il numero dei casi possibili

Ricordiamo poi che:

• La probabilità che due eventi accadano non può mai essere maggiore della probabilità che ciascun evento accada separatamente.
• Se due eventi possibili, A e B, sono indipendenti, allora la possibilità che accadano entrambi è data dal prodotto delle loro probabilità individuali.
• Se un evento può avere un certo numero di esiti possibili diversi e distinti (A,B,C,ecc.), allora la probabilità che accada A oppure B è pari alla somma delle possibilità individuali di A e B, e la somma delle probabilità di tutti gli esiti possibili (A,B,C, ecc.) è pari a 1, cioè al 100%.

La probabilità condizionata di un evento A rispetto a un evento B è la probabilità che si verifichi A, posto che si è verificato B.

La formula è:

Se una probabilità si basa su una variabile è una probabilità marginale, se su due o più variabili si chiama probabilità congiunta.

• La probabilità di un evento P(A) è: \(\frac {probabilità \ marginale \ A}{Totale}\\ \)
• La probabilità congiunta di due eventi è: \(\frac {P(A \ and \ B)}{Totale}\\ \)
• La probabilità condizionale dell’esito A dato il verificarsi della condizione B è: \(\frac {P(A \ and \ B)}{P(B)}\\ \)

In altri termini:

Una probabilità congiunta è la probabilità che qualcuno selezionato da tutto il gruppo abbia due caratteristiche particolari allo stesso tempo. Cioè entrambe le caratteristiche avvengono congiuntamente. Si trova una probabilità congiunta prendendo il valore della cella intersezione di A e B e dividendo per il totale generale.

Per trovare una probabilità condizionale, considero il valore della cella che si trova all’incrocio di A e B e lo divido per il totale marginale di B, cioè della variabile che esprime l’evento che si è verificato.

E’ giunto il momento di un secondo esempio. Prendo i dati da:
Ellis GJ and Stone LH. 1979. Marijuana Use in College: An Evaluation of a Modeling Explanation. Youth and Society 10:323-334.

Lo studio si chiede se è più probabile che uno studente fumi marijuana se i genitori avevano fatto uso di droghe in passato. Ecco la tabella:

				
                   genitori  genitori  Totale
                     uso     non uso	
studente fa uso	   125	     94	       219
studente non uso   85        141       226	
Totale		   210       235       445

Applichiamo le nostre conoscenze per rispondere a queste domande:

1. Se i genitori hanno fatto uso di droghe leggere in passato, qual è la probabilità che lo stesso faccia il figlio al college?

Si tratta di un caso di probabilità condizionale.
Ricordiamo \(P(A|B) = \frac {P(A \ and \ B)}{P(B)}\\ \), quindi

P(studente usi posto che genitori hanno usato) = 125 / 210 = 0,59 = 59%

2. Uno studente viene estratto a sorte e non usa marijuana. Qual è la probabilità che i suoi genitori ne abbiano fatto uso?

Anche in questo caso mi trovo di fronte a un quesito che chiede una probabilità condizionale. Quindi:

P (genitori ne hanno fatto uso posto che il figlio non usa) = 85 / 226 = 0,376 = 37,6%

3. Qual è la probabilità di estrarre uno studente che non fa uso di marijuana e i cui genitori ne hanno fatto uso in passato?

Si tratta in questo caso di trovare una probabilità congiunta, quindi:

\( \frac {P(A \ and \ B)}{Totale}\\ \), quindi 
\( \frac {85}{445} = 0.19\\ \).

La probabilità è del 19% circa.

Dipendenza e indipendenza

Se i risultati di A e B si influenzano a vicenda, diciamo che le due variabili sono in un rapporto di dipendenza.
Viceversa, possiamo dire che le due variabili sono indipendenti.

Mi esprimo in maniera più rigorosa: possiamo affermare che l’evento B è indipendente dall’evento A se:

P(B|A) = P(B)

oppure

P(A|B) = P(A)

qualora non sia così, gli eventi sono tra loro dipendenti.

Dunque:

• P(A and B) =  P(A) P(B) se e solo se A e B sono eventi indipendenti.
• P(A | B) = P(A) e P(B | A) = P(B) se e solamente se A e B sono eventi indipendenti.

Esaminiamo l’indipendenza di variabili categoriche…

Spieghiamoci meglio avvalendoci di un esempio.

Chiamiamo A il fatto che le persone amano o meno il ciclismo.
B invece esprime il fatto che si ami oppure no l’abbacchio al forno. (logico, no?)

Costruisco la mia tabella di contingenza:

                Ok ciclismo    No ciclismo  Totale
Sì abbacchio        95             36        131
No abbacchio        15             19         34
--------------------------------------------------
Totale             110             55        165

Ricordiamoci cosa significa dire che due eventi sono indipendenti. Significa questo:
P(A | B) = P(A)

Ma nel nostro caso vediamo che
P(A) = 66,7%
perchè 110/165 = 0,67

P(A | B) = 72,5%
perchè 95/131 = 0,725

Ricordiamo infatti che 
\(P(A|B) = \frac {P(A \ and \ B)}{P(B)}\\ \), quindi 
\( \frac {95}{131} = 0.725\\ \).

Dal risultato è chiaro che
\( P(A) \neq P(A|B)\)
i due eventi risultano NON indipendenti, (quindi sono dipendenti).

D’altronde, è noto a tutti che tra amare il ciclismo e l’abbacchio arrosto c’è una chiara dipendenza 🙂

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