{"id":898,"date":"2018-09-19T12:56:21","date_gmt":"2018-09-19T11:56:21","guid":{"rendered":"https:\/\/www.gironi.it\/blog\/?p=898"},"modified":"2026-02-25T09:22:58","modified_gmt":"2026-02-25T08:22:58","slug":"la-distribuzione-di-poisson","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/www.gironi.it\/blog\/la-distribuzione-di-poisson\/","title":{"rendered":"La distribuzione di Poisson"},"content":{"rendered":"\n<p>La distribuzione di Poisson \u00e8 una <strong>distribuzione di probabilit\u00e0 discreta<\/strong> che descrive il numero di eventi in un intervallo di tempo o in un&#8217;area fissi.<\/p>\n\n\n\n<p>La distribuzione di Poisson \u00e8 utile per <strong>misurare quanti eventi possono accadere durante un dato orizzonte temporale<\/strong>, come ad esempio il numero dei clienti che entreranno in un negozio durante la prossima ora, oppure il numero di pageviews su di un sito web nel prossimo minuto, e via dicendo&#8230;<\/p>\n\n\n\n<figure class=\"wp-block-image size-large is-resized is-style-default\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/www.gironi.it\/blog\/wp-content\/uploads\/2020\/11\/Simeon_Poisson.jpg\" alt=\"La distribuzione di Poisson: Sim\u00e9on-Denis Poisson \" class=\"wp-image-1906\" width=\"400\" height=\"469\" srcset=\"https:\/\/www.gironi.it\/blog\/wp-content\/uploads\/2020\/11\/Simeon_Poisson.jpg 800w, https:\/\/www.gironi.it\/blog\/wp-content\/uploads\/2020\/11\/Simeon_Poisson-256x300.jpg 256w\" sizes=\"auto, (max-width: 400px) 85vw, 400px\" \/><figcaption class=\"wp-element-caption\"><strong><a href=\"https:\/\/it.wikipedia.org\/wiki\/Sim%C3%A9on-Denis_Poisson\" target=\"_blank\" aria-label=\" (opens in a new tab)\" rel=\"noreferrer noopener\" class=\"rank-math-link\">Sim\u00e9on-Denis Poisson<\/a><\/strong> <\/figcaption><\/figure>\n\n\n\n<p><\/p>\n\n\n\n<!--more-->\n\n\n\t\t\t\t<div class=\"wp-block-uagb-table-of-contents uagb-toc__align-left uagb-toc__columns-1  uagb-block-52dbfe42 wp-block-uagb-table-of-contents uagb-toc__align-left uagb-toc__columns-undefined uagb-block-7c264185     \"\n\t\t\t\t\tdata-scroll= \"1\"\n\t\t\t\t\tdata-offset= \"30\"\n\t\t\t\t\tstyle=\"\"\n\t\t\t\t>\n\t\t\t\t<div class=\"uagb-toc__wrap\">\n\t\t\t\t\t\t<div class=\"uagb-toc__title\">\n\t\t\t\t\t\t\tDi cosa parleremo<br>\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t<div class=\"uagb-toc__list-wrap \">\n\t\t\t\t\t\t<ol class=\"uagb-toc__list\"><li class=\"uagb-toc__list\"><a href=\"#lambda-il-tasso-medio-di-eventi-che-si-verificano-in-un-determinato-intervallo-di-tempo-o-spazio\" class=\"uagb-toc-link__trigger\">Lambda: il tasso medio di eventi che si verificano in un determinato intervallo di tempo o spazio.<\/a><li class=\"uagb-toc__list\"><a href=\"#una-breve-nota-a-margine-poisson-e-binomiale\" class=\"uagb-toc-link__trigger\">Una breve nota a margine: Poisson e Binomiale<\/a><li class=\"uagb-toc__list\"><a href=\"#ma-allora-quali-sono-le-differenze-tra-la-distribuzione-di-poisson-e-quella-binomiale\" class=\"uagb-toc-link__trigger\">Ma allora quali sono le differenze tra la distribuzione di Poisson e quella binomiale?<\/a><li class=\"uagb-toc__list\"><a href=\"#la-distribuzione-di-poisson-in-pratica-un-esempio\" class=\"uagb-toc-link__trigger\">La distribuzione di Poisson in pratica: un esempio<\/a><li class=\"uagb-toc__list\"><a href=\"#la-distribuzione-di-poisson-applicata-alla-seo-vantaggi-e-controindicazioni\" class=\"uagb-toc-link__trigger\">La distribuzione di Poisson applicata alla seo: vantaggi e controindicazioni<\/a><li class=\"uagb-toc__list\"><a href=\"#cenni-su-modelli-alternativi-per-lanalisi-del-traffico-del-sito-web\" class=\"uagb-toc-link__trigger\">Cenni su modelli alternativi per l&#039;analisi del traffico del sito web<\/a><li class=\"uagb-toc__list\"><a href=\"#un-altro-esempio-usare-la-poisson-per-stime-di-probabilit\u00e0-sui-clic-di-un-sito-web\" class=\"uagb-toc-link__trigger\">Un altro esempio: usare la Poisson per stime di probabilit\u00e0 sui clic di un sito web<\/a><ul class=\"uagb-toc__list\"><li class=\"uagb-toc__list\"><a href=\"#potrebbe-interessarti-anche\" class=\"uagb-toc-link__trigger\">Potrebbe interessarti anche<\/a><\/ul><\/ol>\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\n\n\n<h2 class=\"wp-block-heading\">Lambda: il tasso medio di eventi che si verificano in un determinato intervallo di tempo o spazio.<\/h2>\n\n\n\n<p>Elemento importante: <strong>ogni intervallo di tempo si assume indipendente da tutti gli altri.<\/strong><\/p>\n\n\n\n<p>Occorre conoscere il <strong>numero medio di eventi o il tasso di occorrenze degli stessi nell&#8217;intervallo di tempo<\/strong>. <br>Rappresentiamo questo valore con la lettera greca <strong>lambda<\/strong>:<\/p>\n\n\n\n\\( \nX \\sim Po(\\lambda) \\\\ \\\\ \n\\)\n\n\n\n<p>Per calcolare la possibilit\u00e0 che ci siano r occorrenze in uno specifico intervallo:<\/p>\n\n\n\n\\( \nP (X=r) = \\frac{e^{-\\lambda} \\lambda^{r}}{r!} \\\\ \\\\ \n\\)\n\n\n\n<p>Ad esempio, se:<\/p>\n\n\n\n\\( \nX \\sim Po(2) \\\\ \\\\ \nr=3\\)\n\n\n\n<p><br>avremo:<\/p>\n\n\n\n\\( \nP (X=3) = \\frac{e^{-2} \\cdot 2^{3}}{3!} =\\frac{e^{-2} \\cdot 8}{6} = e^{2} \\cdot 1,333 = 0,180 \\\\ \\\\\n\\)\n\n\n\n<p>cio\u00e8 il 18%<\/p>\n\n\n\n<h2 class=\"wp-block-heading\">Una breve nota a margine: Poisson e Binomiale<\/h2>\n\n\n\n<p>Se<br><\/p>\n\n\n\n\\( \nX \\sim Po(\\lambda x)\n\\\\\nY \\sim Po(\\lambda y) \\\\ \\\\ \n\\)\n\n\n\n<p>allora<br><\/p>\n\n\n\n\\( \nX + Y \\sim Po(\\lambda x + \\lambda y) \\\\ \\\\ \n\\)\n\n\n\n<p>Se<br><\/p>\n\n\n\n\\( \nX \\sim Bin(n,p) \\\\ \\\\ \n\\)\n\n\n\n<p>e n \u00e8 grande e p piccolo, allora possiamo approssimare la <a href=\"https:\/\/www.gironi.it\/blog\/distribuzioni-di-probabilita-distribuzioni-discrete-la-binomiale\/\" target=\"_blank\" data-type=\"post\" data-id=\"807\" rel=\"noreferrer noopener\">binomiale<\/a> alla Poisson:<br><\/p>\n\n\n\n\\( \nX \\sim Po(n \\cdot p) \\\\ \\\\ \n\\)\n\n\n\n<h2 class=\"wp-block-heading\">Ma allora quali sono le differenze tra la distribuzione di Poisson e quella binomiale?<\/h2>\n\n\n\n<p>La distribuzione di Poisson e quella binomiale sono due distribuzioni di probabilit\u00e0 discrete utilizzate per modellare eventi rari. La principale differenza tra le due distribuzioni riguarda il numero di prove e successi. <\/p>\n\n\n\n<p><strong>La distribuzione binomiale \u00e8 biparametrica<\/strong>, cio\u00e8 \u00e8 caratterizzata da due parametri n e p, dove n rappresenta il numero di prove e p la probabilit\u00e0 di successo in ogni prova. <\/p>\n\n\n\n<p>Al contrario,<strong> la distribuzione di Poisson \u00e8 uniparametrica<\/strong>, cio\u00e8 \u00e8 caratterizzata da un singolo parametro \u03bb che rappresenta il numero medio di eventi per intervallo. <\/p>\n\n\n\n<p>Inoltre, la distribuzione binomiale viene utilizzata quando il numero di prove \u00e8 finito e il numero di successi non pu\u00f2 superare n, mentre la distribuzione di Poisson viene utilizzata quando il numero di prove \u00e8 essenzialmente infinito.<\/p>\n\n\n\n<h2 class=\"wp-block-heading\">La distribuzione di Poisson in pratica: un esempio<\/h2>\n\n\n\n<p>Un distributore automatico di bevande presenta dei malfunzionamenti in media 3,4 volte alla settimana. Qual \u00e8 la probabilit\u00e0 che la macchina <strong>non<\/strong> si guasti la prossima settimana?<\/p>\n\n\n\n\\( \nP (X=0) = \\frac{e^{- \\lambda} \\cdot \\lambda ^{r}}{r!} \\\\ \\\\\n= \\frac{e^{-3,4} \\cdot 3,4 ^{0}}{0!} = \\\\ \\frac{e^{-3,4} \\cdot 1}{1} = 0,033 \\\\\n\\)\n\n\n\n<p> Notiamo dunque che la probabilit\u00e0 \u00e8 davvero molto bassa&#8230;appena il 3,3% <\/p>\n\n\n\n<p>p.s. X=0 perch\u00e8 ho posto la probabilit\u00e0 che <strong>non<\/strong> si guasti.<\/p>\n\n\n\n<div class=\"wp-block-uagb-image aligncenter uagb-block-32d44606 wp-block-uagb-image--layout-default wp-block-uagb-image--effect-static wp-block-uagb-image--align-center\"><figure class=\"wp-block-uagb-image__figure\"><img decoding=\"async\" srcset=\"https:\/\/www.gironi.it\/blog\/wp-content\/uploads\/2023\/03\/DALL\u00b7E-2023-03-17-16.45.37-Una-distributore-automatico-di-bevande-in-stile-pop-art-300x300.png \" src=\"https:\/\/www.gironi.it\/blog\/wp-content\/uploads\/2023\/03\/DALL\u00b7E-2023-03-17-16.45.37-Una-distributore-automatico-di-bevande-in-stile-pop-art-300x300.png\" alt=\"Un distributore automtico: il mio esempio per spiegare la distribuzione di Poisson\" class=\"uag-image-2813\" width=\"300\" height=\"300\" title=\"\" loading=\"lazy\"\/><figcaption class=\"uagb-image-caption\"><em>un distributore automatico malconcio&#8230;<\/em><\/figcaption><\/figure><\/div>\n\n\n\n<p>Se avessi voluto fare il calcolo con la <strong>TI-83<\/strong> mi sarebbe bastato usare il comando:<\/p>\n\n\n\n<pre class=\"wp-block-preformatted\">poissoncdf(3.4,0)<\/pre>\n\n\n\n<p>in R avrei invece usato il comando:<\/p>\n\n\n\n<pre class=\"wp-block-preformatted\">dpois(0,3.4)<\/pre>\n\n\n\n<p>Voglio ora calcolare qual \u00e8 la probabilit\u00e0 che il distributore si guasti per 3 volte nel corso della prossima settimana.<\/p>\n\n\n\n\\( \nP (X=3) = \\frac{e^{-3,4} \\cdot 3,4 ^{3}}{3!} = \\frac{e^{-3,4} \\cdot 39,304}{6} = 0,216 \\\\\n\\)\n<br>\n\n\n\n<p>La probabilit\u00e0 \u00e8 del 21,6%. <\/p>\n\n\n\n<p>Volendo fare il calcolo con la TI-83:<\/p>\n\n\n\n<pre class=\"wp-block-preformatted\">poissonpdf(3.4,3)<\/pre>\n\n\n\n<p>Veniamo a un terzo quesito: qual \u00e8 il valore atteso e quale la varianza circa il malfunzionamento del distributore? <\/p>\n\n\n\n\\( \nE(X) = \\lambda = 3,4 \\\\\nVar(X) = \\lambda = 3,4 \\\\\n\\)\n\n\n\n<p class=\"has-light-gray-background-color has-background\">Come si nota, lambda, all\u2019interno della distribuzione di Poisson, non rappresenta solamente il numero medio, ma anche la&nbsp;<strong>varianza<\/strong>.<br>Questo \u00e8 noto come la <strong>propriet\u00e0 di uguaglianza media-varianza della distribuzione di Poisson<\/strong>. <\/p>\n\n\n\n<p>Quindi, se lambda \u00e8 grande, la distribuzione di Poisson sar\u00e0 pi\u00f9 concentrata attorno al suo valore medio e la sua varianza sar\u00e0 anche grande, mentre se lambda \u00e8 piccolo, la distribuzione sar\u00e0 meno concentrata attorno al suo valore medio e la sua varianza sar\u00e0 anche piccola.<\/p>\n\n\n\n<h2 class=\"wp-block-heading\">La distribuzione di Poisson applicata alla seo: vantaggi e controindicazioni<\/h2>\n\n\n\n<p>Ci sono alcuni aspetti che rendono potenzialmente interessante l&#8217;utilizzo della distribuzione di Poisson nell&#8217;analisi del traffico del sito web. Si tratta infatti di un <strong>modello statistico semplice e ben compreso<\/strong> che pu\u00f2 essere facilmente applicato ai dati del traffico del sito web, ad esempio per stimare il <strong>tasso medio di richieste o visite per unit\u00e0 di tempo<\/strong> e prevedere la<strong> probabilit\u00e0 di osservare un certo numero di richieste o visite in futuro<\/strong>.<\/p>\n\n\n\n<p>Occorre per\u00f2 avere ben chiaro in mente che ci sono anche molte limitazioni nell&#8217;utilizzo della distribuzione di Poisson per un&#8217;analisi seo sul traffico web. <br><br>In primo luogo, la distribuzione di Poisson <strong>assume che gli eventi si verifichino in modo indipendente e a un tasso costante, il che potrebbe non essere sempre vero per il traffico del sito web<\/strong>. Ad esempio, il traffico del sito web potrebbe mostrare una<strong> frequenza di picco <\/strong>o una <strong>simmetria interna<\/strong>, che non possono essere catturate dalla distribuzione di Poisson. <\/p>\n\n\n\n<p>In secondo luogo, la <strong>distribuzione di Poisson \u00e8 un processo senza memoria<\/strong>, il che significa che non tiene conto di alcuna storia degli eventi passati. Questo pu\u00f2 essere una limitazione quando si analizzano i dati di traffico del sito web che mostrano<strong> tendenze o stagionalit\u00e0<\/strong>. <\/p>\n\n\n\n<p>In terzo luogo, la distribuzione di Poisson assume che gli <strong>eventi siano discreti e contabili<\/strong>, il che potrebbe non essere sempre appropriato per modellare variabili continue come il tempo di risposta o il tempo di caricamento della pagina. Infine, la distribuzione di Poisson \u00e8 un modello semplice che potrebbe non catturare tutte le complessit\u00e0 del traffico del sito web del mondo reale.<\/p>\n\n\n\n<p>Esistono diversi modelli alternativi per l&#8217;analisi del traffico del sito web che possono essere utilizzati quando la distribuzione di Poisson non \u00e8 appropriata.<\/p>\n\n\n\n<h2 class=\"wp-block-heading\">Cenni su modelli alternativi per l&#8217;analisi del traffico del sito web<\/h2>\n\n\n\n<p>Un&#8217;alternativa \u00e8 la <strong>distribuzione Binomiale Negativa<\/strong>, che consente di gestire l&#8217;eccesso di dispersione e di catturare la frequenza di picco o la simmetria interna nei dati di traffico del sito web. <\/p>\n\n\n\n<p>Un&#8217;altra alternativa \u00e8 la<strong> distribuzione Lognormale<\/strong>, che pu\u00f2 essere utilizzata per modellare variabili continue come il tempo di risposta o il tempo di caricamento della pagina. <\/p>\n\n\n\n<p>La <strong>distribuzione Esponenziale<\/strong> pu\u00f2 anche essere utilizzata per modellare gli intervalli di tempo tra le richieste o le visite a un sito web. <\/p>\n\n\n\n<h2 class=\"wp-block-heading\">Un altro esempio: usare la Poisson per stime di probabilit\u00e0 sui clic di un sito web<\/h2>\n\n\n\n<p>Supponiamo di avere un sito web che riceve in media 10 clic all&#8217;ora e vogliamo stimare la probabilit\u00e0 di ottenere un certo numero di clic in un&#8217;ora utilizzando la distribuzione di Poisson. Possiamo utilizzare R per eseguire i seguenti passaggi:<\/p>\n\n\n\n<ol class=\"wp-block-list\">\n<li>Partiamo con il richiamare la libreria ggplot2 e definendo il numero medio di click per ora (il nostro lambda):<\/li>\n<\/ol>\n\n\n\n<pre class=\"wp-block-preformatted\">library(ggplot2)\n\n# Numero medio di click per ora\nlam &lt;- 10<\/pre>\n\n\n\n<p>2. Calcoliamo ora la funzione di massa di probabilit\u00e0 (PMF) della distribuzione di Poisson per ciascun possibile numero di clic utilizzando la funzione dpois(). <br>Ad esempio, per calcolare la probabilit\u00e0 di ottenere esattamente 15 clic:<\/p>\n\n\n\n<pre class=\"wp-block-preformatted\">clicks &lt;- 15\nprob &lt;- dpois(clicks, lam)\ncat(paste(\"La probabilit\u00e0 di avere\", clicks, \"click all'ora \u00e8\", prob, \"\\n\"))<\/pre>\n\n\n\n<p>L&#8217;output \u00e8:<\/p>\n\n\n\n<pre class=\"wp-block-preformatted\">La probabilit\u00e0 di avere 15 click all'ora \u00e8 0.0347180696306841 <\/pre>\n\n\n\n<p>3. Calcoliamo la PMF della distribuzione di Poisson per un range di possibili numeri di clic utilizzando la funzione dpois() e visualizziamo il tutto in un grafico. <br>Ad esempio, per calcolare la probabilit\u00e0 di ottenere da 0 a 30 clic:<\/p>\n\n\n\n<pre class=\"wp-block-preformatted\">x &lt;- 0:30\npmf &lt;- dpois(x, lam)<\/pre>\n\n\n\n<p>4. Disegnamo ora in un grafico la probabilit\u00e0 di ogni possibile numero di click:<\/p>\n\n\n\n<pre class=\"wp-block-preformatted\">ggplot(data.frame(x=x, pmf=pmf), aes(x, pmf)) + \n  geom_bar(stat=\"identity\") +\n  xlab(\"Numero di click\") +\n  ylab(\"Probabilit\u00e0\") +\n  ggtitle(paste(\"PMF della distribuzione di Poisson con lambda =\", lam))<\/pre>\n\n\n\n<div class=\"wp-block-uagb-image aligncenter uagb-block-3ab7995c wp-block-uagb-image--layout-default wp-block-uagb-image--effect-static wp-block-uagb-image--align-center\"><figure class=\"wp-block-uagb-image__figure\"><img decoding=\"async\" srcset=\"https:\/\/www.gironi.it\/blog\/wp-content\/uploads\/2023\/03\/PMF-Poisson.png \" src=\"https:\/\/www.gironi.it\/blog\/wp-content\/uploads\/2023\/03\/PMF-Poisson.png\" alt=\"PMF Poisson\" class=\"uag-image-2858\" width=\"\" height=\"\" title=\"\" loading=\"lazy\"\/><\/figure><\/div>\n\n\n\n<p>5. Calcoliamo la CDF della distribuzione di Poisson e la tracciamo:<\/p>\n\n\n\n<pre class=\"wp-block-preformatted\"># Calcola la CDF della distribuzione di Poisson\ncdf &lt;- ppois(x, lam)\n\n# Plotta la CDF\nggplot(data.frame(x=x, cdf=cdf), aes(x, cdf)) + \n  geom_step() +\n  xlab(\"Numero di click\") +\n  ylab(\"Probabilit\u00e0 cumulativa\") +\n  ggtitle(paste(\"CDF della distribuzione di Poisson con lambda =\", lam))<\/pre>\n\n\n\n<div class=\"wp-block-uagb-image uagb-block-85147abb wp-block-uagb-image--layout-default wp-block-uagb-image--effect-static wp-block-uagb-image--align-none\"><figure class=\"wp-block-uagb-image__figure\"><img decoding=\"async\" srcset=\"https:\/\/www.gironi.it\/blog\/wp-content\/uploads\/2023\/03\/CDF-Poisson.png \" src=\"https:\/\/www.gironi.it\/blog\/wp-content\/uploads\/2023\/03\/CDF-Poisson.png\" alt=\"CDF Poisson\" class=\"uag-image-2859\" width=\"\" height=\"\" title=\"\" loading=\"lazy\"\/><\/figure><\/div>\n\n\n\n<p>6. Calcoliamo il numero di click corrispondente al 90% di probabilit\u00e0:<\/p>\n\n\n\n<pre class=\"wp-block-preformatted\">q &lt;- qpois(0.9, lam)\ncat(paste(\"Per avere una probabilit\u00e0 del 90%, il numero di click deve essere fino a\", q, \"\\n\"))<\/pre>\n\n\n\n<p>L&#8217;output \u00e8:<\/p>\n\n\n\n<pre class=\"wp-block-preformatted\">Per avere una probabilit\u00e0 del 90%, il numero di click deve essere fino a 14<\/pre>\n\n\n\n<p>Per comodit\u00e0, fornisco anche il codice dello script equivalente in Python:<\/p>\n\n\n\n<pre class=\"wp-block-preformatted\">import numpy as np\nimport matplotlib.pyplot as plt\nfrom scipy.stats import poisson\n\n# Definisci il numero medio di click per ora\nlam = 10\n\n# Calcola la probabilit\u00e0 di avere un certo numero di click, ad esempio 15\nclicks = 15\nprob = poisson.pmf(clicks, lam)\nprint(f\"La probabilit\u00e0 di avere {clicks} click all'ora \u00e8 {prob}\")\n\n# Calcola le probabilit\u00e0 per i possibili numeri di click da 0 a 30\nx = np.arange(0, 31)\npmf = poisson.pmf(x, lam)\n\n# Plotta la probabilit\u00e0 di ogni possibile numero di click\nplt.bar(x, pmf)\nplt.xlabel('Numero di click')\nplt.ylabel('Probabilit\u00e0')\nplt.title(f'PMF della distribuzione di Poisson con lambda = {lam}')\nplt.show()\n\n# Calcola la CDF della distribuzione di Poisson\ncdf = poisson.cdf(x, lam)\n\n# Plotta la CDF\nplt.step(x, cdf)\nplt.xlabel('Numero di click')\nplt.ylabel('Probabilit\u00e0 cumulativa')\nplt.title(f'CDF della distribuzione di Poisson con lambda = {lam}')\nplt.show()\n\n# Calcola il numero di click corrispondente al 90% di probabilit\u00e0\nq = poisson.ppf(0.9, lam)\nprint(f\"Per avere una probabilit\u00e0 del 90%, il numero di click deve essere {q}\")<\/pre>\n\n\n<!-- internal-links-section -->\n<h3>Potrebbe interessarti anche<\/h3>\n<ul>\n<li><a href=\"https:\/\/www.gironi.it\/blog\/anomaly-detection\/\">Anomaly detection: come identificare valori anomali nei dati<\/a><\/li>\n<\/ul>","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>La distribuzione di Poisson \u00e8 una distribuzione di probabilit\u00e0 discreta che descrive il numero di eventi in un intervallo di tempo o in un&#8217;area fissi. 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