{"id":863,"date":"2018-09-14T14:08:05","date_gmt":"2018-09-14T13:08:05","guid":{"rendered":"https:\/\/www.gironi.it\/blog\/?p=863"},"modified":"2026-07-05T21:04:01","modified_gmt":"2026-07-05T20:04:01","slug":"la-distribuzione-geometrica","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/www.gironi.it\/blog\/la-distribuzione-geometrica\/","title":{"rendered":"La distribuzione geometrica"},"content":{"rendered":"\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Dopo aver visto in  altri post la pi\u00f9 famosa distribuzione discreta, la <a href=\"https:\/\/www.gironi.it\/blog\/distribuzioni-di-probabilita-distribuzioni-discrete-la-binomiale\/\" target=\"_blank\" data-type=\"post\" data-id=\"807\" rel=\"noreferrer noopener\">Binomiale<\/a>, nonch\u00e8 la <a href=\"https:\/\/www.gironi.it\/blog\/la-distribuzione-di-poisson\/\" target=\"_blank\" data-type=\"post\" data-id=\"898\" rel=\"noreferrer noopener\">distribuzione di Poisson<\/a> e la <a href=\"https:\/\/www.gironi.it\/blog\/la-distribuzione-beta-spiegata-semplice\/\" target=\"_blank\" data-type=\"post\" data-id=\"2429\" rel=\"noreferrer noopener\">distribuzione Beta<\/a>, \u00e8 giunto il momento di gettare uno sguardo alla <em><strong>distribuzione geometrica<\/strong><\/em>.<\/p>\n\n\n\t\t\t\t<div class=\"wp-block-uagb-table-of-contents uagb-toc__align-left uagb-toc__columns-1  uagb-block-34c6f9c1 wp-block-uagb-table-of-contents uagb-toc__align-left uagb-toc__columns-undefined uagb-block-426590d5     \"\n\t\t\t\t\tdata-scroll= \"1\"\n\t\t\t\t\tdata-offset= \"30\"\n\t\t\t\t\tstyle=\"\"\n\t\t\t\t>\n\t\t\t\t<div class=\"uagb-toc__wrap\">\n\t\t\t\t\t\t<div class=\"uagb-toc__title\">\n\t\t\t\t\t\t\tDi cosa parleremo<br>\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t<div class=\"uagb-toc__list-wrap \">\n\t\t\t\t\t\t<ol class=\"uagb-toc__list\"><li class=\"uagb-toc__list\"><a href=\"#quanti-tentativi-servono-per-avere-un-primo-risultato-positivo\" class=\"uagb-toc-link__trigger\">Quanti tentativi servono per avere un primo risultato positivo?<\/a><li class=\"uagb-toc__list\"><a href=\"#e-giunto-il-momento-degli-esempi\" class=\"uagb-toc-link__trigger\">E&#039; giunto il momento degli esempi&#8230;<\/a><li class=\"uagb-toc__list\"><a href=\"#usiamo-r-o-la-ti-83\" class=\"uagb-toc-link__trigger\">Usiamo R o la TI 83<\/a><\/ol>\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\n\n\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><strong>Quanti tentativi servono per avere un primo risultato positivo<\/strong>?<\/h2>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Si usa quando si fanno tentativi indipendenti, ciascuno dei quali pu\u00f2 avere come esito il successo o il fallimento, e <strong>si \u00e8 interessati a conoscere quanti tentativi occorrono per avere un primo risultato positivo<\/strong>.<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">In simboli:<\/p>\n\n\n\n\\( X \\sim Geo(p) \\\\ \\\\ \\)\n\n\n\n<div style=\"height:20px\" aria-hidden=\"true\" class=\"wp-block-spacer\"><\/div>\n\n\n\n<!--more-->\n\n\n\n<ul>\n<li>\\(X\\) \u00e8 il numero di tentativi necessari per avere un primo risultato positivo.<\/li>\n<li>\\(r\\) \u00e8 il numero dei tentativi.<\/li> \n<li>\\(P\\) \u00e8 la probabilit\u00e0 di successo nel tentativo.<\/li>\n<li>diciamo poi, come \u00e8 ovvio, che: q=1-p<\/li>\n<\/ul>\nQui viene il bello. Abbiamo infatti:\n\n\n\n\\(\\\\ P(X=r) = p \\times q ^ {r-1} \\\\ \\)\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\"> <strong>P indica quindi la probabilit\u00e0 che il primo successo avvenga al tentativo numero r.<\/strong> <br>Continuiamo nel ragionamento:<\/p>\n\n\n\n\\(P(X &gt; r) = q ^ {r}\\)\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\"><strong>il che ci consente di calcolare la probabilit\u00e0 che servano pi\u00f9 di r tentativi per avere il primo successo<\/strong>, nonch\u00e8:<\/p>\n\n\n\n\\(P(X \\leq r) = 1 &#8211; q ^ {r} \\\\ \\)\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">che ci aiuta a trovare qual \u00e8 la probabilit\u00e0 che servano r tentativi o meno per avere il primo successo. Il valore atteso \u00e8:<\/p>\n\n\n\n\\(E(X) = \\frac{1}{P} \\\\ \\)\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">La <strong>varianza<\/strong> \u00e8:<\/p>\n\n\n\n\\(Var(X) = \\frac{q}{P^{2}}\\)\n\n\n\n<h2 class=\"wp-block-heading\">E&#8217; giunto il momento degli esempi&#8230;<\/h2>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Sappiamo che la probabilit\u00e0 che un pattinatore completi un percorso senza incidenti \u00e8 0,4. Quindi:<\/p>\n\n\n\n\\( X \\sim Geo(0,4) \\\\ \\)\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">X \u00e8 il numero di tentativi che il nostro pattinatore deve fare per riuscire a completare un percorso senza alcun incidente.<br><br>Siamo pronti ad applicare le nostre nuove conoscenze.&nbsp;<\/p>\n\n\n\n<div class=\"wp-block-group has-background\" style=\"background-color:#f5f7f9;margin-top:2.5rem;margin-bottom:2.5rem;padding-top:1.5rem;padding-right:1.5rem;padding-bottom:1rem;padding-left:1.5rem\"><div class=\"wp-block-group__inner-container is-layout-constrained wp-container-core-group-is-layout-eed7543b wp-block-group-is-layout-constrained\">\n<figure class=\"wp-block-image size-large\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" width=\"1024\" height=\"612\" src=\"https:\/\/www.gironi.it\/blog\/wp-content\/uploads\/2026\/07\/pattinaggio-1024x612.png\" alt=\"Un pattinatore prova pi\u00f9 volte prima di completare il percorso senza incidenti\" class=\"wp-image-3985\" srcset=\"https:\/\/www.gironi.it\/blog\/wp-content\/uploads\/2026\/07\/pattinaggio-1024x612.png 1024w, https:\/\/www.gironi.it\/blog\/wp-content\/uploads\/2026\/07\/pattinaggio-300x179.png 300w, https:\/\/www.gironi.it\/blog\/wp-content\/uploads\/2026\/07\/pattinaggio-1200x718.png 1200w, https:\/\/www.gironi.it\/blog\/wp-content\/uploads\/2026\/07\/pattinaggio.png 1264w\" sizes=\"auto, (max-width: 709px) 85vw, (max-width: 909px) 67vw, (max-width: 1362px) 62vw, 840px\" \/><figcaption class=\"wp-element-caption\">Una pattinatrice prova pi\u00f9 volte prima di completare il percorso senza incidenti: la distribuzione geometrica conta quanti tentativi servono per il primo successo.<\/figcaption><\/figure>\n<\/div><\/div>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Calcoliamo il numero di tentativi che mi aspetto di fare prima di avere un successo:<\/p>\n\n\n\n<p>\\( E(X) = \\frac{1}{P}\\\\\\)\ndunque \n\\(\\frac{1}{0,4} = 2,5\t\n\\)<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">La varianza nel numero dei tentativi \u00e8 presto calcolata:<\/p>\n\n\n\n\\( Var(X) \\frac{q}{p^{2}} \\\\ \\)\ncio\u00e8\n\\(\\frac{0,6}{0,4^{2}} = \\frac{0,6}{0,16} = 3,75 \\\\\n\t\\)\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">La probabilit\u00e0 di aver successo al secondo tentativo, dopo aver fallito il primo&#8230;<\/p>\n\n\n\n<p>\\( P(X=2) = P \\times q = 0,4 \\times 0,6 = 0,24 \\\\\\) \nvale a dire 24%<\/p>\n\n\n\n<div class=\"wp-block-group has-background\" style=\"background-color:#f5f7f9;margin-top:2.5rem;margin-bottom:2.5rem;padding-top:1.5rem;padding-right:1.5rem;padding-bottom:1rem;padding-left:1.5rem\"><div class=\"wp-block-group__inner-container is-layout-constrained wp-container-core-group-is-layout-eed7543b wp-block-group-is-layout-constrained\">\n<figure class=\"wp-block-image size-large\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" width=\"975\" height=\"600\" src=\"https:\/\/www.gironi.it\/blog\/wp-content\/uploads\/2026\/07\/geometrica-pmf-1.png\" alt=\"Geometrica(0,4): la probabilit\u00e0 che il primo successo del pattinatore arrivi esattamente all'r-esimo tentativo. Decade tentativo dopo tentativo; il valore atteso \u00e8 2,5 tentativi.\" class=\"wp-image-3979\" srcset=\"https:\/\/www.gironi.it\/blog\/wp-content\/uploads\/2026\/07\/geometrica-pmf-1.png 975w, https:\/\/www.gironi.it\/blog\/wp-content\/uploads\/2026\/07\/geometrica-pmf-1-300x185.png 300w\" sizes=\"auto, (max-width: 709px) 85vw, (max-width: 909px) 67vw, (max-width: 1362px) 62vw, 840px\" \/><figcaption class=\"wp-element-caption\">Geometrica(0,4): la probabilit\u00e0 che il primo successo del pattinatore arrivi esattamente all&#8217;r-esimo tentativo. Decade tentativo dopo tentativo; il valore atteso \u00e8 2,5 tentativi.<\/figcaption><\/figure>\n<\/div><\/div>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">La probabilit\u00e0 di aver successo in 4 tentativi o meno? Facile!<\/p>\n\n\n\n\\(P(X \\leq 4) = 1-q^{4} = 1 &#8211; 0,6^{4} = 1 &#8211; 0,1296 \\\\ \\)\nCio\u00e8 0,8704\n<br><br>\nVale a dire 87%\n\n\n\n<div class=\"wp-block-group has-background\" style=\"background-color:#f5f7f9;margin-top:2.5rem;margin-bottom:2.5rem;padding-top:1.5rem;padding-right:1.5rem;padding-bottom:1rem;padding-left:1.5rem\"><div class=\"wp-block-group__inner-container is-layout-constrained wp-container-core-group-is-layout-eed7543b wp-block-group-is-layout-constrained\">\n<figure class=\"wp-block-image size-large\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" width=\"975\" height=\"600\" src=\"https:\/\/www.gironi.it\/blog\/wp-content\/uploads\/2026\/07\/geometrica-cdf-1.png\" alt=\"La probabilit\u00e0 cumulata risponde a \u00abentro quanti tentativi?\u00bb: entro il quarto tentativo il primo successo \u00e8 gi\u00e0 arrivato nell'87% dei casi.\" class=\"wp-image-3980\" srcset=\"https:\/\/www.gironi.it\/blog\/wp-content\/uploads\/2026\/07\/geometrica-cdf-1.png 975w, https:\/\/www.gironi.it\/blog\/wp-content\/uploads\/2026\/07\/geometrica-cdf-1-300x185.png 300w\" sizes=\"auto, (max-width: 709px) 85vw, (max-width: 909px) 67vw, (max-width: 1362px) 62vw, 840px\" \/><figcaption class=\"wp-element-caption\">La probabilit\u00e0 cumulata risponde a \u00abentro quanti tentativi?\u00bb: entro il quarto tentativo il primo successo \u00e8 gi\u00e0 arrivato nell&#8217;87% dei casi.<\/figcaption><\/figure>\n<\/div><\/div>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">La probabilit\u00e0 di aver bisogno di pi\u00f9 di 4 tentativi? Calcolarla \u00e8 uno scherzo:<\/p>\n\n\n\n\\( P(X &gt; 4) = q^{4} = 0,6^{4}\\\\ \\)\n<p>\nCio\u00e8 0,1296, ossia circa il 13%\t\n<\/p>\n\n\n\n<hr class=\"wp-block-separator has-css-opacity\"\/>\n\n\n\n<h2 class=\"wp-block-heading\">Usiamo R o la TI 83<\/h2>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Ora che abbiamo un po&#8217; di formule ben presenti, possiamo lasciare campo alla nostra pigrizia e tirare fuori la TI-83.<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Per calcolare la probabilit\u00e0 di aver successo al secondo tentativo, dopo aver fallito il primo mi baster\u00e0 calcolare:<\/p>\n\n\n\n<pre class=\"wp-block-code\"><code>geometpdf(0.4,2)<\/code><\/pre>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">e poi ovviamente x 100 se voglio avere il valore percentuale\u2026<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Per trovare la probabilit\u00e0 di aver successo in 4 tentativi o meno:<\/p>\n\n\n\n<pre class=\"wp-block-code\"><code>geometcdf(0.4,4)<\/code><\/pre>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">e poi ovviamente x 100 se voglio avere il valore percentuale\u2026<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Per calcolare la probabilit\u00e0 di aver bisogno di pi\u00f9 di 4 tentativi:<\/p>\n\n\n\n<pre class=\"wp-block-code\"><code>1-geometcdf(0.4,4)<\/code><\/pre>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">e poi ovviamente x 100 se voglio avere il valore percentuale\u2026<\/p>\n\n\n\n<h3 class=\"wp-block-heading\">Lo stesso risultato in R<\/h3>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Con P(X=2) e P=0,4<\/p>\n\n\n\n<pre class=\"wp-block-code\"><code>dgeom(1,0.4)<\/code><\/pre>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">dove 1 \u00e8 il numero dei fallimenti prima del successo&#8230;<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">P(X&lt;=4) e P=0,4<\/p>\n\n\n\n<pre class=\"wp-block-code\"><code>pgeom(3,0.4)<\/code><\/pre>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Tutto molto semplice, molto rapido, molto divertente!<\/p>\n\n\n<p><!-- internal-links-section --><\/p>\n<h3>Potrebbe interessarti anche<\/h3>\n<ul>\n<li><a href=\"https:\/\/www.gironi.it\/blog\/teorema-del-limite-centrale\/\">Il Teorema del Limite Centrale: perch\u00e9 la statistica funziona (anche quando i dati non sono normali)<\/a><\/li>\n<\/ul>\n\n\n<hr class=\"wp-block-separator has-alpha-channel-opacity\"\/>\n\n\n\n<h3 class=\"wp-block-heading\">Per approfondire<\/h3>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Le distribuzioni discrete come la geometrica sono trattate con esempi accessibili in <a href=\"https:\/\/www.amazon.it\/dp\/8867319396?tag=consulenzeinf-21&amp;ascsubtag=la-distribuzione-geometrica\" rel=\"nofollow sponsored noopener\" target=\"_blank\"><em>Finalmente ho capito la statistica<\/em><\/a> di Maurizio De Pra, una lettura adatta a chi vuole costruirsi le basi senza affrontare un manuale universitario.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Dopo aver visto in altri post la pi\u00f9 famosa distribuzione discreta, la Binomiale, nonch\u00e8 la distribuzione di Poisson e la distribuzione Beta, \u00e8 giunto il momento di gettare uno sguardo alla distribuzione geometrica. 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