E’ un valore numerico.
Quando valori di probabilit\u00e0 sono assegnati a tutti i possibili valori numerici di una variabile casuale x, il risultato \u00e8 una distribuzione di probabilit\u00e0<\/strong>.<\/p>\n\n\n\n
In termini ancora pi\u00f9 semplici: una variabile casuale \u00e8 una variabile i cui valori sono associati a una probabilit\u00e0 di essere osservati. L’insieme di tutti i possibili valori di una variabile casuale e le probabilit\u00e0 ad essi associati \u00e8 chiamato distribuzione di probabilit\u00e0<\/strong>. La somma di tutte le probabilit\u00e0 \u00e8 1<\/strong>.<\/p>\n\n\n\n\n\n\n\t\t\t\t Ci sono due tipologie principali di variabili aleatorie: discrete<\/strong> e continue<\/strong>.<\/p>\n\n\n\n <\/p>\n\n\n\n A seconda dei casi abbiamo a che fare, quindi, con varie tipologie di distribuzioni. Queste sono le pi\u00f9 comuni: Consideriamo una prova nella quale ha interesse solo verificare se un certo evento si verificato o meno. Una qualunque prova dicotomica pu\u00f2 essere rappresentata da una variabile casuale di Bernoulli. ha per media:<\/p>\n\n\n\n\\( E(x)=\\pi \\\\ \\)\n\n\n\n e per varianza:<\/p>\n\n\n\n\\( V(x)=\\pi(1-\\pi) \\\\ \\)\n\n\n\n Tutte le prove che producono solo 2 possibili risultati generano v.c. di Bernoulli<\/strong> (ad esempio il lancio di una moneta). Non ho intenzione in questa sede di soffermarmi sugli aspetti concettuali, peraltro molto importanti, per i quali rimando a testi specifici. Quello che mi preme \u00e8 mostrare in pratica, e in maniera spero chiara, di cosa stiamo parlando. Partiamo da una definizione e poi vediamo le caratteristiche e qualche esempio pratico.<\/p>\n\n\n\n La variabile casuale Binomiale e pu\u00f2 essere intesa come una somma di variabili casuali bernoulliane.<\/strong><\/p>\n\n\n\n Cosa significa? Semplicemente che se ripetiamo, per n volte e nelle stesse condizioni, lo schema dicotomico successo-insuccesso della variabile casuale di Bernoulli, avremo come risultato una sequenza di n sottoprove indipendenti, a ciascuna delle quali possiamo associare una variabile casuale di Bernoulli.<\/p>\n\n\n\n Quali sono le caratteristiche della distribuzione binomiale<\/strong>? Queste: Se anche solo una di queste caratteristiche non \u00e8 presente, niente da fare. No caratteristica, no binomiale…<\/p>\n\n\n\n Cerchiamo ora di capire meglio. <\/p>\n\n\n\n Da un punto di vista pratico, la distribuzione binomiale ci consente di calcolare la probabilit\u00e0 di ottenere <\/strong>r<\/strong><\/em> successi in <\/strong>n<\/strong><\/em> prove indipendenti.<\/strong><\/p>\n\n\n\n La probabilit\u00e0 di un certo numero, r<\/em>, dipende da r stesso, dal numero di “esperimenti” n<\/em> e dalla probabilit\u00e0 individuale che indichiamo con p<\/em>. Il fattoriale di un numero naturale <\/strong> Per calcolare ad esempio C6<\/sup>2<\/sub><\/p>\n\n\n\n 6 6 Chiamiamo x il valore atteso. Quindi posso scrivere il nostro problema in questo modo:<\/p>\n\n\n\n\\( x \\sim Binomiale(dimensione, p) \\)\n\n\n\n Calcoliamo la varianza della distribuzione con dimensione n<\/em>=10 e probabilit\u00e0 individuale p<\/em>=0.5 (cio\u00e8 il 50%). Ad esempio, si potrebbe trattare di dieci lanci di monete…<\/p>\n\n\n\n\\( x \\sim Binomiale(10, 0.5) \\\\\\)\n \nQuindi la varianza sar\u00e0:\n<\/p>\n\\(Var (x) = 10 \\times 0.5 \\times (1 – 0.5) = 2.5 \\\\\\)\n \nLa media, naturalmente, risulter\u00e0 essere:\t\n<\/p>\n\\(E (x) = 10 \\times 0.5 = 5 \\\\\\)\n\n\n\n Introduciamo ora il concetto di densit\u00e0 di probabilit\u00e0<\/strong>, che poi \u00e8 quello che pi\u00f9 spesso useremo in applicazioni reali… E’ quando, ad esempio, vogliamo sapere la probabilit\u00e0 che due lanci su 10 di una moneta diano testa…<\/p>\n\n\n\n Per spiegare meglio la cosa, prendo un problema da un libro. Ecco il problema:<\/p>\n\n\n\n Se incrocio un topo nero e uno bianco, ho 3\/4 di probabilit\u00e0 che il topo nasca nero e 1\/4 bianco. Qual \u00e8 la probabilit\u00e0 che su 7 figli 3 siano bianchi?<\/em><\/p>\n\n\n\n Ottimo: scriviamo subito i dati!<\/p>\n\n\n\n E ora? Faccio i calcoli a mano? Ma s\u00ec, ecco:<\/p>\n\n\n\\( \\frac{n!}{r!(n-r)!} \\times p^r (1-p)^{n-r} \\\\ \\\\\\)\n\n\n\n quindi<\/p>\n\n\n\\(\\frac{7!}{3!4!} \\times 0,25^{3} \\times 0,75^{4}= \\\\ Fare i calcoli a mano \u00e8 divertente, ma noi siamo pigri e abbiamo a disposizione R, oppure magari sul tavolo la vecchia e fidata TI-83. dbinom<\/strong>()<\/p>\n\n\n\n Il problema \u00e8 quindi risolto con la semplice istruzione:<\/p>\n\n\n\n che mi d\u00e0 come risultato 0,173, quindi la soluzione \u00e8 17,3%<\/p>\n\n\n\n La TI-83 ci fornisce invece la funzione binompdf<\/strong>, e la soluzione viene trovata con il comando:<\/p>\n\n\n\n (s\u00ec, l’ordine degli elementi purtroppo \u00e8 diverso e non bisogna confondersi…)<\/p>\n\n\n\n Se invece utilizzo una calcolatrice Casio, la funzione da utilizzare sar\u00e0 BinomialPD<\/strong>:<\/p>\n\n\n\n Esistono dei quesiti altrettanto interessanti, che chiamano in causa altre distribuzioni discrete. Come fare se fossimo interessati a sapere, ad esempio, quanti tentativi devo attendermi di fare prima di potermi aspettare un successo? Oppure: quante volte posso attendermi il verificarsi oppure il non verificarsi di un evento in un dato lasso di tempo? Operiamo campionando da una popolazione senza reintroduzione? Come si vede, \u00e8 un argomento vastissimo e molto interessante, che cercheremo di approfondire (ma con leggerezza) in vari articoli.<\/p>\n\n\n\n Una variabile casuale (o variabile aleatoria, o stocastica) \u00e8 una variabile che pu\u00f2 assumere valori diversi in dipendenza da qualche fenomeno aleatorio. In molti libri di statistica \u00e8 indicata semplicemente come v.c.E’ un valore numerico. Quando valori di probabilit\u00e0 sono assegnati a tutti i possibili valori numerici di una variabile casuale x, il risultato … Leggi tutto “Distribuzioni di probabilit\u00e0: distribuzioni discrete – La Binomiale”<\/span><\/a><\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"_uag_custom_page_level_css":"","footnotes":""},"categories":[629],"tags":[829,831,647,833],"class_list":["post-807","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-statistica-it","tag-bernoulli-it","tag-binomiale-it","tag-distribuzioni-it","tag-variabile-casuale-it"],"lang":"it","translations":{"it":807,"en":3469},"uagb_featured_image_src":{"full":false,"thumbnail":false,"medium":false,"medium_large":false,"large":false,"1536x1536":false,"2048x2048":false,"post-thumbnail":false},"uagb_author_info":{"display_name":"paolo","author_link":"https:\/\/www.gironi.it\/blog\/author\/paolo\/"},"uagb_comment_info":2,"uagb_excerpt":" Una variabile casuale (o variabile aleatoria, o stocastica) \u00e8 una variabile che pu\u00f2 assumere valori diversi in dipendenza da qualche fenomeno aleatorio. 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\n
<\/li>\n\n\n\n
Nel caso di una variabile casuale continua, le probabilit\u00e0 vengono rappresentate per mezzo di una funzione di densit\u00e0 di probabilit\u00e0<\/strong>.
L’area totale sotto la curva (cio\u00e8 la probabilit\u00e0 totale) vale 1.<\/li>\n<\/ul>\n\n\n\n
<\/p>\n\n\n\nDistribuzioni discrete<\/h4>\n\n\n\n
\n
Distribuzioni continue<\/h4>\n\n\n\n
\n
\n\n\n\nEvento s\u00ec o evento no? La variabile casuale di Bernoulli<\/h2>\n\n\n\n
La variabile casuale generata da tale prova assumer\u00e0 valore 1 se l’evento si \u00e8 verificato, 0 altrimenti.
Tale v.c. viene detta variabile casuale di Bernoulli<\/strong>.<\/p>\n\n\n\n
<\/p>\n\n\n![\"Jakob](\"https:\/\/www.gironi.it\/blog\/wp-content\/uploads\/2018\/09\/Jakob_Bernoulli-268x300.jpg\")
<\/a>
Un po’ di simboli. Indichiamo una v.c. di Bernoulli in questo modo:<\/p>\n\n\n\n\\( x \\sim Bernoulli(\\pi) \\\\ \\)\n\n\n\n
Partendo da questo semplice assunto, il passo \u00e8 brevissimo per arrivare alla Distribuzione Binomiale.<\/p>\n\n\n\n
\n\n\n\nLa distribuzione binomiale<\/h2>\n\n\n\n
<\/p>\n\n\n\n\n
La probabilit\u00e0 di r<\/em> successi in n<\/em> esperimenti \u00e8 data da questa espressione:<\/p>\n\n\n\n\\( \\frac{n!}{r!(n-r)!} \\times p^r (1-p)^{n-r} \\)\n\n\n\n
Sembra difficile, vero? Eppure non lo \u00e8 (e in pratica si rivela utile e persino divertente!)<\/p>\n\n\n\n
Innanzitutto ricordiamo che con il simbolo ! in matematica indichiamo il fattoriale<\/em>. Come certamente ricorderete, il fattoriale di 3, cio\u00e8 3! \u00e8:
3 x 2 x 1 = 6, il fattoriale di 4, cio\u00e8 4! \u00e8:
4 x 3 x 2 x 1 = 24
e via dicendo (non sfuggir\u00e0 il fatto che il fattoriale cresce molto, molto velocemente all’aumentare del numero…).<\/p>\n\n\n\n
indica il prodotto del numero <\/strong>
per tutti i suoi antecedenti<\/strong><\/p><\/blockquote><\/figure>\n\n\n\n
Detto questo, vediamo prima come trovare la media, il centro della nostra distribuzione, e come la varianza. In questo modo, avremo tutto ci\u00f2 che ci serve per qualche esempio pratico…<\/p>\n\n\n\nIl coefficiente binomiale con la Casio<\/h4>\n\n\n\n
CATALOG [Shift-F7]
C [tasto ln]
con la freccia vado fino alla C in grassetto e la scelgo
2
Sullo schermo avr\u00f2 6C2
EXE
e otterr\u00f2 il risultato, 15.
<\/p>\n\n\n\nil coefficiente binomiale con la ti 83<\/h4>\n\n\n\n
MATH
freccia fino a PRB
3-nCr
2
ENTER<\/p>\n\n\n\n
\n\n\n\nMedia, valore atteso, varianza di una distribuzione binomiale<\/h4>\n\n\n\n
La media \u00e8:<\/p>\n\n\n\n\\(E(x) = dimensione \\times p\\)\n\n\n\n
La varianza \u00e8:<\/p>\n\n\n\n\\(Var(x) = dimensione \\times p \\times (1 – p)\\)\n\n\n\n
Ok, a questo punto urge un esempio. <\/p>\n\n\n\n
Nota a margine: \u00e8 intuitivo che se p= 1-p = 0,5 la distribuzione di probabilit\u00e0 risulter\u00e0 simmetrica. Mentre se p < 0,5 sar\u00e0 asimmetrica verso destra e se p > 0,5 sar\u00e0 asimmetrica verso sinistra.<\/em><\/p>\n\n\n\nUn esempio: calcolo della densit\u00e0 di probabilit\u00e0<\/h3>\n\n\n\n
\n
\n35 \\times 0.0049439 = \\ 0.173\\)\n\n\n\n
vale a dire 17,3%.<\/p>\n\n\n\n
In R la densit\u00e0 di probabilit\u00e0 viene computata da una semplice funzione:<\/p>\n\n\n\ndbinom(3,7,0.25)<\/pre>\n\n\n\n
binompdf(7,0.25,3)<\/pre>\n\n\n\n
BinomialPD(3,7,0.25)<\/pre>\n\n\n\n
\n\n\n\n
Ecco entrare in scena la <\/a>distribuzione geometrica<\/a>.<\/a><\/p>\n\n\n\n
E’ il caso di scomodare la distribuzione di Poisson<\/a><\/p>\n\n\n\n
Usiamo la distribuzione ipergeometrica<\/a>.<\/p>\n\n\n\n
\n\n\n\nPotrebbe interessarti anche<\/h3>\n
\n