{"id":807,"date":"2018-09-03T16:01:26","date_gmt":"2018-09-03T15:01:26","guid":{"rendered":"https:\/\/www.gironi.it\/blog\/?p=807"},"modified":"2026-10-04T21:48:12","modified_gmt":"2026-10-04T20:48:12","slug":"distribuzioni-di-probabilita-distribuzioni-discrete-la-binomiale","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/www.gironi.it\/blog\/distribuzioni-di-probabilita-distribuzioni-discrete-la-binomiale\/","title":{"rendered":"La distribuzione binomiale: formula, esempi e calcolo in R"},"content":{"rendered":"\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Su dieci visitatori che arrivano sulla scheda di un prodotto, ciascuno con il 20% di probabilit\u00e0 di comprare, quante possibilit\u00e0 abbiamo che <strong>almeno tre<\/strong> concludano l&#8217;acquisto? E quante che non compri nessuno?<br>Sono domande che nella pratica quotidiana ci facciamo di continuo (con le conversioni, con i clic, con i lanci di una moneta) e hanno tutte la stessa struttura: un certo numero di tentativi, ognuno dei quali pu\u00f2 andare bene o male.<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Lo strumento che risponde \u00e8 la <strong>distribuzione binomiale<\/strong>, la pi\u00f9 usata (e la pi\u00f9 amichevole) fra le distribuzioni di probabilit\u00e0 discrete.<br>Vediamo da dove nasce, qual \u00e8 la sua formula e come calcolarla al volo in R e con la calcolatrice.<\/p>\n\n\n\n<!--more-->\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\"><strong>In sintesi:<\/strong> la <strong>distribuzione binomiale<\/strong> d\u00e0 la probabilit\u00e0 di ottenere esattamente <em>r<\/em> successi in <em>n<\/em> prove indipendenti, ciascuna con la stessa probabilit\u00e0 di successo <em>p<\/em>. La formula \u00e8 \\(P(X=r)={n \\choose r}\\,p^r(1-p)^{n-r}\\), la media \u00e8 \\(np\\) e la varianza \\(np(1-p)\\). In R si calcola con <code>dbinom(r, n, p)<\/code>; per le probabilit\u00e0 cumulate (\u00abalmeno\u00bb, \u00abal massimo\u00bb) si usa <code>pbinom()<\/code>.<\/p>\n\n\n\t\t\t\t<div class=\"wp-block-uagb-table-of-contents uagb-toc__align-left uagb-toc__columns-1  uagb-block-14961eba      \"\n\t\t\t\t\tdata-scroll= \"1\"\n\t\t\t\t\tdata-offset= \"30\"\n\t\t\t\t\tstyle=\"\"\n\t\t\t\t>\n\t\t\t\t<div class=\"uagb-toc__wrap\">\n\t\t\t\t\t\t<div class=\"uagb-toc__title\">\n\t\t\t\t\t\t\tTable Of Contents\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t<div class=\"uagb-toc__list-wrap \">\n\t\t\t\t\t\t<ol class=\"uagb-toc__list\"><li class=\"uagb-toc__list\"><a href=\"#variabili-discrete-e-variabili-continue\" class=\"uagb-toc-link__trigger\">Variabili discrete e variabili continue<\/a><li class=\"uagb-toc__list\"><a href=\"#evento-s\u00ec-o-evento-no-la-variabile-casuale-di-bernoulli\" class=\"uagb-toc-link__trigger\">Evento s\u00ec o evento no? La variabile casuale di Bernoulli<\/a><li class=\"uagb-toc__list\"><a href=\"#che-cos\u00e8-la-distribuzione-binomiale\" class=\"uagb-toc-link__trigger\">Che cos&#039;\u00e8 la distribuzione binomiale?<\/a><li class=\"uagb-toc__list\"><a href=\"#domande-frequenti\" class=\"uagb-toc-link__trigger\">Domande frequenti<\/a><\/ol>\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\n\n\n<h2 class=\"wp-block-heading\">Variabili discrete e variabili continue<\/h2>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Una premessa, prima di arrivare alla binomiale: due parole su cosa sia una variabile casuale, e su quali tipi ne incontreremo.<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Una <strong>variabile casuale<\/strong> (o variabile aleatoria, o stocastica) \u00e8 una variabile che pu\u00f2 assumere valori diversi in dipendenza da qualche fenomeno aleatorio. In molti libri di statistica \u00e8 indicata semplicemente come v.c.<br>E&#8217; un valore numerico.<br><br>Quando valori di probabilit\u00e0 sono assegnati a tutti i possibili valori numerici di una variabile casuale x, il risultato \u00e8 una <strong>distribuzione di probabilit\u00e0<\/strong>.<\/p>\n\n\n\n<p class=\"has-very-light-gray-background-color has-background wp-block-paragraph\">In termini ancora pi\u00f9 semplici: una variabile casuale \u00e8 una variabile i cui valori sono associati a una probabilit\u00e0 di essere osservati. L&#8217;insieme di tutti i possibili valori di una variabile casuale e le probabilit\u00e0 ad essi associati \u00e8 chiamato <strong>distribuzione di probabilit\u00e0<\/strong>. La <strong>somma di tutte le probabilit\u00e0 \u00e8 1<\/strong>.<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Ci sono due tipologie principali di variabili aleatorie: <strong>discrete<\/strong> e <strong>continue<\/strong>.<\/p>\n\n\n\n<ul class=\"wp-block-list\">\n<li>Una<strong> v.c. discreta<\/strong> <strong>pu\u00f2 assumere un insieme<\/strong> discreto (<strong>finito<\/strong> o numerabile) <strong>di numeri reali<\/strong>. Cio\u00e8 potrei elencare in una tabella tutti i possibili valori con le rispettive probabilit\u00e0. Un esempio pu\u00f2 essere l&#8217;esito del lancio di un dado: gli esiti possibili sono 6, ciascuno dei quali ha una probabilit\u00e0 di 1\/6 (e la somma di tutte le probabilit\u00e0, ovviamente, fa 1).<br><br><\/li>\n\n\n\n<li>Una <strong>v.c. continua<\/strong> invece <strong>pu\u00f2 assumere tutti i valori compresi in un intervallo reale<\/strong>. Vale a dire un numero infinito di valori entro ogni intervallo dato. La probabilit\u00e0 che X sia compresa entro ogni intervallo dato \u00e8 rappresentata dall&#8217;<strong>area sottostante la distribuzione di probabilit\u00e0<\/strong>.<br>Nel caso di una variabile casuale continua, le probabilit\u00e0 vengono rappresentate per mezzo di una <strong>funzione di densit\u00e0 di probabilit\u00e0<\/strong>. <br>L&#8217;area totale sotto la curva (cio\u00e8 la probabilit\u00e0 totale) vale 1.<\/li>\n<\/ul>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\"><\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">A seconda dei casi abbiamo a che fare, quindi, con varie tipologie di distribuzioni. Queste sono le pi\u00f9 comuni:<br><\/p>\n\n\n\n<div class=\"wp-block-columns has-2-columns is-layout-flex wp-container-core-columns-is-layout-8f761849 wp-block-columns-is-layout-flex\">\n<div class=\"wp-block-column is-layout-flow wp-block-column-is-layout-flow\">\n<h3 class=\"has-text-align-left wp-block-heading\">Distribuzioni discrete<\/h3>\n\n\n\n<ul class=\"wp-block-list\">\n<li>Binomiale<\/li>\n\n\n\n<li><a href=\"https:\/\/www.gironi.it\/blog\/la-distribuzione-di-poisson\/\">Poisson<\/a><\/li>\n\n\n\n<li><a href=\"https:\/\/www.gironi.it\/blog\/la-distribuzione-geometrica\/\">Geometrica<\/a><\/li>\n<\/ul>\n<\/div>\n\n\n\n<div class=\"wp-block-column is-layout-flow wp-block-column-is-layout-flow\">\n<h3 class=\"has-text-align-left wp-block-heading\">Distribuzioni continue<\/h3>\n\n\n\n<ul class=\"wp-block-list\">\n<li><a href=\"https:\/\/www.gironi.it\/blog\/la-distribuzione-normale\/\">Normale<\/a><\/li>\n\n\n\n<li>Uniforme<\/li>\n\n\n\n<li><a href=\"https:\/\/www.gironi.it\/blog\/la-distribuzione-t-e-il-test-delle-ipotesi\/\">T di Student<\/a><\/li>\n<\/ul>\n<\/div>\n<\/div>\n\n\n\n<hr class=\"wp-block-separator has-css-opacity\"\/>\n\n\n\n<h2 class=\"wp-block-heading\">Evento s\u00ec o evento no? La variabile casuale di Bernoulli<\/h2>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Consideriamo una prova nella quale ha interesse solo verificare se un certo evento si verificato o meno.<br>La variabile casuale generata da tale prova assumer\u00e0 valore 1 se l&#8217;evento si \u00e8 verificato, 0 altrimenti.<br>Tale v.c. viene detta <strong>variabile casuale di Bernoulli<\/strong>.<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Una qualunque prova dicotomica pu\u00f2 essere rappresentata da una variabile casuale di Bernoulli.<br><br><\/p>\n\n\n<div class=\"wp-block-image is-style-rounded\">\n<figure class=\"aligncenter\"><a href=\"https:\/\/it.wikipedia.org\/wiki\/Jakob_Bernoulli\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" width=\"268\" height=\"300\" src=\"https:\/\/www.gironi.it\/blog\/wp-content\/uploads\/2018\/09\/Jakob_Bernoulli-268x300.jpg\" alt=\"Jakob Bernoulli - la distribuzione binomiale\" class=\"wp-image-838\" srcset=\"https:\/\/www.gironi.it\/blog\/wp-content\/uploads\/2018\/09\/Jakob_Bernoulli-268x300.jpg 268w, https:\/\/www.gironi.it\/blog\/wp-content\/uploads\/2018\/09\/Jakob_Bernoulli.jpg 414w\" sizes=\"auto, (max-width: 268px) 85vw, 268px\" \/><\/a><figcaption class=\"wp-element-caption\">Questo \u00e8 il signor Jakob Bernoulli. Su Wikipedia i dettagli per chi fosse interessato&#8230;<\/figcaption><\/figure>\n<\/div>\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">&nbsp;<br>Un po&#8217; di simboli. Indichiamo una v.c. di Bernoulli in questo modo:<\/p>\n\n\n\n\\( x \\sim Bernoulli(\\pi) \\\\ \\)\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">ha per media:<\/p>\n\n\n\n\\( E(x)=\\pi \\\\ \\)\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">e per varianza:<\/p>\n\n\n\n\\( V(x)=\\pi(1-\\pi) \\\\ \\)\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\"><strong>Tutte le prove che producono solo 2 possibili risultati generano v.c. di Bernoulli<\/strong> (ad esempio il lancio di una moneta).<br><br>Partendo da questo semplice assunto, il passo \u00e8 brevissimo per arrivare alla Distribuzione Binomiale.<\/p>\n\n\n\n<hr class=\"wp-block-separator has-css-opacity\"\/>\n\n\n\n<h2 class=\"wp-block-heading\">Che cos&#8217;\u00e8 la distribuzione binomiale?<\/h2>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Non ho intenzione in questa sede di soffermarmi sugli aspetti concettuali, peraltro molto importanti, per i quali rimando a testi specifici. Quello che mi preme \u00e8 mostrare in pratica, e in maniera spero chiara, di cosa stiamo parlando. Partiamo da una definizione e poi vediamo le caratteristiche e qualche esempio pratico.<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\"><strong>La variabile casuale binomiale pu\u00f2 essere intesa come una somma di variabili casuali bernoulliane.<\/strong><\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Cosa significa? Semplicemente che se ripetiamo, per n volte e nelle stesse condizioni, lo schema dicotomico successo-insuccesso della variabile casuale di Bernoulli, avremo come risultato una sequenza di n sottoprove indipendenti, a ciascuna delle quali possiamo associare una variabile casuale di Bernoulli.<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Quali sono <strong>le caratteristiche della distribuzione binomiale<\/strong>? Queste:<br><br><\/p>\n\n\n\n<ul class=\"wp-block-list\">\n<li>C&#8217;\u00e8 un <strong>numero fisso di tentativi<\/strong> (n).<\/li>\n\n\n\n<li>Ogni tentativo ha due possibilit\u00e0: <strong>successo<\/strong> o <strong>fallimento<\/strong>.<\/li>\n\n\n\n<li>La <strong>probabilit\u00e0 di successo<\/strong> (p) \u00e8 <strong>la stessa<\/strong> per ogni tentativo.<\/li>\n\n\n\n<li>Il risultato di un tentativo non influenza nessun altro (i tentativi sono <strong>indipendenti<\/strong>)<\/li>\n<\/ul>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Se anche solo una di queste caratteristiche non \u00e8 presente, niente da fare. No caratteristica, no binomiale&#8230;<\/p>\n\n\n\n<div class=\"wp-block-group has-background\" style=\"background-color:#f5f7f9;margin-top:2.5rem;margin-bottom:2.5rem;padding-top:1.5rem;padding-right:1.5rem;padding-bottom:1rem;padding-left:1.5rem\"><div class=\"wp-block-group__inner-container is-layout-constrained wp-container-core-group-is-layout-eed7543b wp-block-group-is-layout-constrained\">\n\n<figure class=\"wp-block-image size-large\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" width=\"975\" height=\"600\" src=\"https:\/\/www.gironi.it\/blog\/wp-content\/uploads\/2026\/07\/binomiale-effetto-p-1.png\" alt=\"A parit\u00e0 di prove (n = 7), la probabilit\u00e0 di successo p governa la forma: con p = 0,25 la distribuzione \u00e8 asimmetrica a destra, con p = 0,50 diventa simmetrica.\" class=\"wp-image-3986\" srcset=\"https:\/\/www.gironi.it\/blog\/wp-content\/uploads\/2026\/07\/binomiale-effetto-p-1.png 975w, https:\/\/www.gironi.it\/blog\/wp-content\/uploads\/2026\/07\/binomiale-effetto-p-1-300x185.png 300w\" sizes=\"auto, (max-width: 709px) 85vw, (max-width: 909px) 67vw, (max-width: 1362px) 62vw, 840px\" \/><figcaption class=\"wp-element-caption\">A parit\u00e0 di prove (n = 7), la probabilit\u00e0 di successo p governa la forma: con p = 0,25 la distribuzione \u00e8 asimmetrica a destra, con p = 0,50 diventa simmetrica.<\/figcaption><\/figure>\n\n<\/div><\/div>\n\n\n\n<h3 class=\"wp-block-heading\">Qual \u00e8 la formula della distribuzione binomiale?<\/h3>\n\n\n\n<p class=\"has-light-gray-background-color has-background wp-block-paragraph\"><strong>Da un punto di vista pratico, la distribuzione binomiale ci consente di calcolare la probabilit\u00e0 di ottenere <\/strong><em><strong>r<\/strong><\/em><strong> successi in <\/strong><em><strong>n<\/strong><\/em><strong> prove indipendenti.<\/strong><\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">La probabilit\u00e0 di un certo numero,<em> r<\/em>, dipende da r stesso, dal numero di &#8220;esperimenti&#8221; <em>n<\/em> e dalla probabilit\u00e0 individuale che indichiamo con&nbsp;<em>p<\/em>.&nbsp;<br><br>La probabilit\u00e0 di<em> r<\/em> successi in <em>n<\/em> esperimenti \u00e8 data da questa espressione:<\/p>\n\n\n\n\\( \\frac{n!}{r!(n-r)!} \\times p^r (1-p)^{n-r} \\)\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\"><br>Sembra difficile, vero? Eppure non lo \u00e8 (e in pratica si rivela utile e persino divertente!)<\/p>\n\n\n\n<div style=\"border:1px dotted silver; padding:8px;\">\nNOTA: La parte \n\\(\n\\frac{n!}{r!(n-r)!}\n\\)\n\t\u00e8 detta <strong>coefficiente binomiale<\/strong>, e si trova nei libri di testo scritta in questa maniera:\n\\(\n{n\\choose k}\n\\)\n<\/div>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\"><br><br>Innanzitutto ricordiamo che con il simbolo ! in matematica indichiamo il <em>fattoriale<\/em>. Come certamente ricorderete, il fattoriale di 3, cio\u00e8 3! \u00e8:<br>3 x 2 x 1 =&nbsp; 6, il fattoriale di 4, cio\u00e8 4! \u00e8:<br>4 x 3 x 2 x 1 = 24 <br>e via dicendo (non sfuggir\u00e0 il fatto che il fattoriale cresce molto, molto velocemente all&#8217;aumentare del numero&#8230;).<\/p>\n\n\n\n<p class=\"has-light-gray-background-color has-background wp-block-paragraph\"><strong>Il fattoriale di un numero naturale<\/strong> indica il prodotto del numero per tutti i suoi antecedenti.<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\"><br>Detto questo, vediamo prima come trovare la media, il centro della nostra distribuzione, e come la varianza. In questo modo, avremo tutto ci\u00f2 che ci serve per qualche esempio pratico&#8230;<\/p>\n\n\n\n<h3 class=\"wp-block-heading\">Il coefficiente binomiale con la Casio<\/h3>\n\n\n\n<p>Per calcolare ad esempio C<sup>6<\/sup><sub>2<\/sub><\/p>\n\n\n\n<ol class=\"wp-block-list\">\n<li><code>6<\/code><\/li>\n\n\n\n<li><code>CATALOG<\/code> [Shift-F7]<\/li>\n\n\n\n<li><code>C<\/code> [tasto ln]<\/li>\n\n\n\n<li>con la freccia vado fino alla C in grassetto e la scelgo<\/li>\n\n\n\n<li><code>2<\/code> \u2014 sullo schermo avr\u00f2 <code>6C2<\/code><\/li>\n\n\n\n<li><code>EXE<\/code><\/li>\n<\/ol>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">e otterr\u00f2 il risultato, 15.<\/p>\n\n\n\n<h3 class=\"wp-block-heading\">Il coefficiente binomiale con la TI-83<\/h3>\n\n\n\n<ol class=\"wp-block-list\">\n<li><code>6<\/code><\/li>\n\n\n\n<li><code>MATH<\/code><\/li>\n\n\n\n<li>freccia fino a <code>PRB<\/code><\/li>\n\n\n\n<li><code>3-nCr<\/code><\/li>\n\n\n\n<li><code>2<\/code><\/li>\n\n\n\n<li><code>ENTER<\/code><\/li>\n<\/ol>\n\n\n\n<hr class=\"wp-block-separator has-css-opacity\"\/>\n\n\n\n<h3 class=\"wp-block-heading\">Come si calcolano media e varianza della distribuzione binomiale?<\/h3>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Chiamiamo x la nostra variabile binomiale, con <em>n<\/em> prove e probabilit\u00e0 di successo <em>p<\/em>. La scriviamo cos\u00ec:<\/p>\n\n\n\n\\( x \\sim Binomiale(n, p) \\)\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\"><br>La media \u00e8:<\/p>\n\n\n\n\\(E(x) = n \\times p\\)\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\"><br>La varianza \u00e8:<\/p>\n\n\n\n\\(Var(x) = n \\times p \\times (1 &#8211; p)\\)\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\"><br>Ok, a questo punto urge un esempio. <\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Calcoliamo la varianza della distribuzione con dimensione <em>n<\/em>=10 e probabilit\u00e0 individuale<em> p<\/em>=0.5 (cio\u00e8 il 50%). Ad esempio, si potrebbe trattare di dieci lanci di monete&#8230;<\/p>\n\n\n\n\\( x \\sim Binomiale(10, 0.5) \\\\\\)\n<p>\nQuindi la varianza sar\u00e0:\n<\/p>\n\\(Var (x) = 10 \\times 0.5 \\times (1 &#8211; 0.5) = 2.5 \\\\\\)\n<p>\nLa media, naturalmente, risulter\u00e0 essere:\t\n<\/p>\n\\(E (x) = 10 \\times 0.5 = 5 \\\\\\)\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\"><br><em>Nota a margine: \u00e8 intuitivo che se p= 1-p = 0,5 la distribuzione di probabilit\u00e0 risulter\u00e0 simmetrica. Mentre se p &lt; 0,5 sar\u00e0 asimmetrica verso destra e se p &gt; 0,5 sar\u00e0 asimmetrica verso sinistra.<\/em><\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Introduciamo ora il concetto di <strong>densit\u00e0 di probabilit\u00e0<\/strong> (per le variabili discrete si parla pi\u00f9 propriamente di <em>funzione di probabilit\u00e0<\/em>; R la chiama comunque <em>density<\/em>, da cui la \u00abd\u00bb di <code>dbinom<\/code>), che poi \u00e8 quello che pi\u00f9 spesso useremo in applicazioni reali&#8230; E&#8217; quando, ad esempio, vogliamo sapere la probabilit\u00e0 che due lanci su 10 di una moneta diano testa&#8230;<\/p>\n\n\n\n<h3 class=\"wp-block-heading\">Un esempio: la probabilit\u00e0 di esattamente 3 successi su 7<\/h3>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Per spiegare meglio la cosa, prendo un problema da un libro. Ecco il problema:<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\"><em>Se incrocio un topo nero e uno bianco, ho 3\/4 di probabilit\u00e0 che il topo nasca nero e 1\/4 bianco. Qual \u00e8 la probabilit\u00e0 che su 7 figli 3 siano bianchi?<\/em><\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Ottimo: scriviamo subito i dati!<\/p>\n\n\n\n<ul class=\"wp-block-list\">\n<li><em>n<\/em> = 7<\/li>\n\n\n\n<li><em>r<\/em> = 3<\/li>\n\n\n\n<li><em>p<\/em> = 1\/4 quindi 0.25<\/li>\n<\/ul>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">E ora? Faccio i calcoli a mano? Ma s\u00ec, ecco:<\/p>\n\n\n\\( \\frac{n!}{r!(n-r)!} \\times p^r (1-p)^{n-r} \\\\ \\\\\\)\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">quindi<\/p>\n\n\n\\(\\frac{7!}{3!4!} \\times 0,25^{3} \\times 0,75^{4}= \\\\<br \/>\n35 \\times 0.0049439 = \\ 0.173\\)\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\"><br>vale a dire 17,3%.<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Fare i calcoli a mano \u00e8 divertente, ma noi siamo pigri e abbiamo a disposizione R, oppure magari sul tavolo la vecchia e fidata TI-83.<br><br>In R la densit\u00e0 di probabilit\u00e0 viene computata da una semplice funzione:<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\"><code>dbinom()<\/code><\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Il problema \u00e8 quindi risolto con la semplice istruzione:<\/p>\n\n\n\n<pre class=\"wp-block-code\"><code>dbinom(3,7,0.25)<\/code><\/pre>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">che mi d\u00e0 come risultato 0,173, quindi la soluzione \u00e8 17,3%<\/p>\n\n\n\n<div class=\"wp-block-group has-background\" style=\"background-color:#f5f7f9;margin-top:2.5rem;margin-bottom:2.5rem;padding-top:1.5rem;padding-right:1.5rem;padding-bottom:1rem;padding-left:1.5rem\"><div class=\"wp-block-group__inner-container is-layout-constrained wp-container-core-group-is-layout-eed7543b wp-block-group-is-layout-constrained\">\n\n<figure class=\"wp-block-image size-large\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" width=\"975\" height=\"600\" src=\"https:\/\/www.gironi.it\/blog\/wp-content\/uploads\/2026\/07\/binomiale-pmf-1.png\" alt=\"La distribuzione Binomiale(7, 0,25): la probabilit\u00e0 di ottenere r figli bianchi su 7 dall'incrocio. La barra evidenziata \u00e8 il caso dell'esempio, P(X = 3) = 0,173.\" class=\"wp-image-3987\" srcset=\"https:\/\/www.gironi.it\/blog\/wp-content\/uploads\/2026\/07\/binomiale-pmf-1.png 975w, https:\/\/www.gironi.it\/blog\/wp-content\/uploads\/2026\/07\/binomiale-pmf-1-300x185.png 300w\" sizes=\"auto, (max-width: 709px) 85vw, (max-width: 909px) 67vw, (max-width: 1362px) 62vw, 840px\" \/><figcaption class=\"wp-element-caption\">La distribuzione Binomiale(7, 0,25): la probabilit\u00e0 di ottenere r figli bianchi su 7 dall&#8217;incrocio. La barra evidenziata \u00e8 il caso dell&#8217;esempio, P(X = 3) = 0,173.<\/figcaption><\/figure>\n\n<\/div><\/div>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">La TI-83 ci fornisce invece la funzione <strong>binompdf<\/strong>, e la soluzione viene trovata con il comando:<\/p>\n\n\n\n<pre class=\"wp-block-code\"><code>binompdf(7,0.25,3)<\/code><\/pre>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">(s\u00ec, l&#8217;ordine degli elementi purtroppo \u00e8 diverso e non bisogna confondersi&#8230;)<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Se invece utilizzo una calcolatrice Casio, la funzione da utilizzare sar\u00e0 <strong>BinomialPD<\/strong>:<\/p>\n\n\n\n<pre class=\"wp-block-code\"><code>BinomialPD(3,7,0.25)<\/code><\/pre>\n\n\n\n<h3 class=\"wp-block-heading\">E se ci serve la probabilit\u00e0 di \u00abalmeno\u00bb tre successi?<\/h3>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Torniamo alla domanda da cui siamo partiti: dieci visitatori sulla scheda prodotto, ciascuno con il 20% di probabilit\u00e0 di comprare. Quante probabilit\u00e0 ci sono che <strong>almeno tre<\/strong> acquistino?<br>Qui non ci interessa un valore preciso, ma un intervallo: 3, 4, 5\u2026 fino a 10. Potremmo sommare otto probabilit\u00e0 calcolate con la formula, ma c&#8217;\u00e8 una strada molto pi\u00f9 corta: calcolare la probabilit\u00e0 dell&#8217;evento opposto (0, 1 o 2 acquisti) e sottrarla da 1.<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Le tre probabilit\u00e0 \u00abpiccole\u00bb, con <em>n<\/em> = 10 e <em>p<\/em> = 0,2, sono:<\/p>\n\n\n\n\\( P(X=0) = 0{,}8^{10} = 0{,}1074 \\\\ P(X=1) = 10 \\times 0{,}2 \\times 0{,}8^{9} = 0{,}2684 \\\\ P(X=2) = {10 \\choose 2} \\times 0{,}2^{2} \\times 0{,}8^{8} = 45 \\times 0{,}04 \\times 0{,}1678 = 0{,}3020 \\)\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Dunque la probabilit\u00e0 di al massimo due acquisti \u00e8 0,1074 + 0,2684 + 0,3020 = 0,6778, e quella di almeno tre \u00e8 1 \u2212 0,6778 = <strong>0,3222<\/strong>: circa una possibilit\u00e0 su tre.<br>(Per inciso, la media \u00e8 <em>n<\/em> \u00d7 <em>p<\/em> = 2: in media due acquisti ogni dieci visite.)<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">In R la probabilit\u00e0 cumulata si calcola con <code>pbinom()<\/code>, che somma per noi tutte le probabilit\u00e0 fino a un certo valore. Calcolo direttamente la coda \u00abalmeno 3\u00bb in R:<\/p>\n\n\n\n<pre class=\"wp-block-code\"><code>pbinom(2, 10, 0.2, lower.tail = FALSE)\n# [1] 0.3222<\/code><\/pre>\n\n\n\n<p class=\"has-light-gray-background-color has-background wp-block-paragraph\">Un avvertimento: il primo argomento \u00e8 <strong>2<\/strong>, non 3. Con <code>lower.tail = FALSE<\/code> R calcola la probabilit\u00e0 di superare quel valore, cio\u00e8 P(X &gt; 2), che per una variabile discreta \u00e8 proprio P(X \u2265 3). <strong>Per \u00abalmeno r\u00bb si passa r \u2212 1<\/strong>: \u00e8 un errore facilissimo da fare, e va sempre tenuto bene a mente.<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Sulla TI-83 lo stesso risultato si ottiene con la funzione cumulata <strong>binomcdf<\/strong>:<\/p>\n\n\n\n<pre class=\"wp-block-code\"><code>1 - binomcdf(10,0.2,2)<\/code><\/pre>\n\n\n\n<hr class=\"wp-block-separator has-css-opacity\"\/>\n\n\n\n<h2 class=\"wp-block-heading\">Domande frequenti<\/h2>\n\n\n\n<h3 class=\"wp-block-heading\">A cosa serve la distribuzione binomiale?<\/h3>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">A calcolare la probabilit\u00e0 di ottenere un certo numero di successi in n prove indipendenti, ognuna con due soli esiti possibili (successo o insuccesso) e con la stessa probabilit\u00e0 di successo p: quante conversioni su 10 visite, quante teste su 5 lanci. Si pu\u00f2 vedere come la somma di n variabili di Bernoulli.<\/p>\n\n\n\n<h3 class=\"wp-block-heading\">Cosa indica il coefficiente binomiale nella formula?<\/h3>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Nella formula n! \/ (r!(n\u2212r)!) \u00d7 p^r \u00d7 (1\u2212p)^(n\u2212r), la prima parte \u00e8 il coefficiente binomiale: conta in quanti modi gli r successi possono disporsi fra le n prove. Il resto \u00e8 la probabilit\u00e0 di una singola sequenza con r successi.<\/p>\n\n\n\n<h3 class=\"wp-block-heading\">Quanto valgono media e varianza di una binomiale?<\/h3>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">La media \u00e8 n \u00d7 p e la varianza n \u00d7 p \u00d7 (1 \u2212 p). Con 10 lanci di una moneta equa (p = 0,5) la media \u00e8 5 teste e la varianza 2,5.<\/p>\n\n\n\n<h3 class=\"wp-block-heading\">Come si calcola la distribuzione binomiale in R?<\/h3>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Con dbinom(r, n, p) per la probabilit\u00e0 di esattamente r successi e con pbinom(r, n, p) per la probabilit\u00e0 di al massimo r successi. Per \u00abalmeno r\u00bb si usa pbinom(r \u2212 1, n, p, lower.tail = FALSE).<\/p>\n\n\n\n<h3 class=\"wp-block-heading\">Che forma ha il grafico della distribuzione binomiale?<\/h3>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Dipende da p: con p = 0,5 \u00e8 simmetrico, con p minore di 0,5 \u00e8 asimmetrico verso destra, con p maggiore di 0,5 verso sinistra. All&#8217;aumentare del numero di prove la forma si avvicina a quella di una distribuzione normale.<\/p>\n\n\n\n<h3 class=\"wp-block-heading\">Che differenza c&#8217;\u00e8 tra distribuzione binomiale e binomiale negativa?<\/h3>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">La binomiale fissa il numero di prove e conta i successi; la <a href=\"https:\/\/www.gironi.it\/blog\/la-distribuzione-binomiale-negativa\/\">binomiale negativa<\/a> fissa il numero di successi e conta le prove necessarie per ottenerli. Alla prima chiediamo \u00abquante teste in 5 lanci?\u00bb, alla seconda \u00aba quale lancio arriva la terza testa?\u00bb.<\/p>\n\n\n\n<script type=\"application\/ld+json\">{\"@context\": \"https:\/\/schema.org\", \"@type\": \"FAQPage\", \"mainEntity\": [{\"@type\": \"Question\", \"name\": \"A cosa serve la distribuzione binomiale?\", \"acceptedAnswer\": {\"@type\": \"Answer\", \"text\": \"A calcolare la probabilit\u00e0 di ottenere un certo numero di successi in n prove indipendenti, ognuna con due soli esiti possibili (successo o insuccesso) e con la stessa probabilit\u00e0 di successo p: quante conversioni su 10 visite, quante teste su 5 lanci. 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Come fare se fossimo interessati a sapere, ad esempio, quanti tentativi devo attendermi di fare prima di potermi aspettare un successo? <br>Ecco entrare in scena la <a href=\"https:\/\/www.gironi.it\/blog\/la-distribuzione-geometrica\/\" data-type=\"post\" data-id=\"863\">distribuzione geometrica<\/a>.<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">E se invece volessimo sapere a quale tentativo arriver\u00e0 il terzo successo? \u00c8 il territorio della <a href=\"https:\/\/www.gironi.it\/blog\/la-distribuzione-binomiale-negativa\/\">distribuzione binomiale negativa<\/a>, che rovescia la domanda della binomiale: non quanti successi in un numero fisso di prove, ma quante prove per un numero fisso di successi.<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Oppure: quante volte posso attendermi il verificarsi oppure il non verificarsi di un evento in un dato lasso di tempo? <br>E&#8217; il caso di scomodare la <a href=\"https:\/\/www.gironi.it\/blog\/la-distribuzione-di-poisson\/\" target=\"_blank\" data-type=\"post\" data-id=\"898\" rel=\"noreferrer noopener\">distribuzione di Poisson<\/a><\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Operiamo campionando da una popolazione senza reintroduzione?<br>Usiamo la <a href=\"https:\/\/www.gironi.it\/blog\/la-distribuzione-ipergeometrica\/\" target=\"_blank\" data-type=\"post\" data-id=\"2933\" rel=\"noreferrer noopener\">distribuzione ipergeometrica<\/a>.<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Come si vede, \u00e8 un argomento vastissimo e molto interessante, che cercheremo di approfondire (ma con leggerezza) in vari articoli.<\/p>\n\n\n\n<hr class=\"wp-block-separator has-css-opacity\"\/>\n\n\n<!-- internal-links-section -->\n<h3>Potrebbe interessarti anche<\/h3>\n<ul>\n<li><a href=\"https:\/\/www.gironi.it\/blog\/statistica-bayesiana\/\">Statistica bayesiana: come imparare dai dati, un passo alla volta<\/a><\/li>\n<li><a href=\"https:\/\/www.gironi.it\/blog\/intervalli-di-confidenza\/\">Intervalli di confidenza: cosa sono, come calcolarli (e cosa NON significano)<\/a><\/li>\n<\/ul>\n\n\n<hr class=\"wp-block-separator has-alpha-channel-opacity\"\/>\n\n\n\n<h3 class=\"wp-block-heading\">Per approfondire<\/h3>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Per chi vuole ripassare le distribuzioni di probabilit&agrave; con un linguaggio accessibile, <a href=\"https:\/\/www.amazon.it\/dp\/8867319396?tag=consulenzeinf-21&#038;ascsubtag=distribuzioni-di-probabilita-distribuzioni-discrete-la-binomiale\" rel=\"nofollow sponsored noopener\" target=\"_blank\"><em>Finalmente ho capito la statistica<\/em><\/a> di Maurizio De Pra dedica alla binomiale e alle altre distribuzioni discrete una trattazione semplice e ricca di esempi.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Su dieci visitatori che arrivano sulla scheda di un prodotto, ciascuno con il 20% di probabilit\u00e0 di comprare, quante possibilit\u00e0 abbiamo che almeno tre concludano l&#8217;acquisto? 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