{"id":2933,"date":"2023-03-24T16:27:33","date_gmt":"2023-03-24T15:27:33","guid":{"rendered":"https:\/\/www.gironi.it\/blog\/?p=2933"},"modified":"2024-09-20T13:55:28","modified_gmt":"2024-09-20T12:55:28","slug":"la-distribuzione-ipergeometrica","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/www.gironi.it\/blog\/la-distribuzione-ipergeometrica\/","title":{"rendered":"La distribuzione ipergeometrica"},"content":{"rendered":"\n<p>Abbiamo visto che la <a href=\"https:\/\/www.gironi.it\/blog\/distribuzioni-di-probabilita-distribuzioni-discrete-la-binomiale\/\" data-type=\"post\" data-id=\"807\" target=\"_blank\" rel=\"noreferrer noopener\"><strong>distribuzione&nbsp;binomiale<\/strong><\/a>&nbsp;si basa sull\u2019ipotesi di una popolazione infinita N, condizione che si pu\u00f2 realizzare in pratica campionando da una popolazione finita&nbsp;<strong>con reintroduzione<\/strong>.<\/p>\n\n\n\n<p>Se ci\u00f2 non avviene, cio\u00e8 se operiamo campionando da una popolazione&nbsp;<strong>senza reintroduzione<\/strong>&nbsp;dobbiamo avvalerci della&nbsp;<strong>distribuzione ipergeometrica<\/strong>. (In realt\u00e0, se N \u00e8 grande la funzione di probabilit\u00e0 di densit\u00e0 ipergeometrica tende alla binomiale).<\/p>\n\n\n\n<p class=\"has-light-gray-background-color has-background\">La distribuzione ipergeometrica si usa per calcolare la probabilit\u00e0 di ottenere un certo numero di successi in una serie di tentativi binari (s\u00ec o no), dipendenti e con una probabilit\u00e0 di successo variabile. <\/p>\n\n\n\n<p>La distribuzione ipergeometrica ci consente di rispondere a quesiti del tipo:<\/p>\n\n\n\n<p class=\"has-light-gray-background-color has-background\">Se prendo un campione di dimensione N, in cui M elementi soddisfano determinati requisiti, qual \u00e8 la probabilit\u00e0 di estrarre x elementi che soddisfano quei requisiti?<\/p>\n\n\n\n<!--more-->\n\n\n\t\t\t\t<div class=\"wp-block-uagb-table-of-contents uagb-toc__align-left uagb-toc__columns-1  uagb-block-f5fe3cc3      \"\n\t\t\t\t\tdata-scroll= \"1\"\n\t\t\t\t\tdata-offset= \"30\"\n\t\t\t\t\tstyle=\"\"\n\t\t\t\t>\n\t\t\t\t<div class=\"uagb-toc__wrap\">\n\t\t\t\t\t\t<div class=\"uagb-toc__title\">\n\t\t\t\t\t\t\tDi cosa parleremo\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t<div class=\"uagb-toc__list-wrap \">\n\t\t\t\t\t\t<ol class=\"uagb-toc__list\"><li class=\"uagb-toc__list\"><a href=\"#partiamo-dalla-formula\" class=\"uagb-toc-link__trigger\">Partiamo dalla formula<\/a><li class=\"uagb-toc__list\"><a href=\"#la-distribuzione-ipergeometrica-spiegata-con-esempi\" class=\"uagb-toc-link__trigger\">La distribuzione ipergeometrica spiegata con esempi<\/a><li class=\"uagb-toc__list\"><a href=\"#pu\u00f2-mancare-un-esempio-con-urna-e-palline\" class=\"uagb-toc-link__trigger\">Pu\u00f2 mancare un esempio con urna e palline?<\/a><li class=\"uagb-toc__list\"><a href=\"#per-approfondire-il-tema-della-distribuzione-ipergeometrica\" class=\"uagb-toc-link__trigger\">Per approfondire il tema della distribuzione ipergeometrica<\/a><\/ol>\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\n\n\n<h2 class=\"wp-block-heading\">Partiamo dalla formula<\/h2>\n\n\n\n<p>Esprimo sotto forma di formula la mia distribuzione:<\/p>\n\n\n\n\\(\nf(X|N,M,n)=\\frac{C^{N-M}_{n-x}\\times C^M_x}{C^N_n} \\\\\n\\)\n\n\n\n<h2 class=\"wp-block-heading\">La distribuzione ipergeometrica spiegata con esempi<\/h2>\n\n\n\n<p>Sappiamo che un lotto di 30 pezzi contiene 6 pezzi malfunzionanti.<br>Se prendo un campione di 5 pezzi, quale \u00e8 la probabilit\u00e0 di trovare esattamente 2 pezzi difettosi?<\/p>\n\n\n\n<p>Scrivo subito i dati:<\/p>\n\n\n\n<ul class=\"wp-block-list\">\n<li>N=30 (<em>il numero di pezzi complessivi del mio lotto<\/em>)<\/li>\n\n\n\n<li>M=6 (<em>i pezzi malfunzionanti complessivi presenti nel lotto<\/em>)<\/li>\n\n\n\n<li>x=2 (<em>voglio sapere la probabilit\u00e0 di trovare 2 pezzi difettosi<\/em>)<\/li>\n\n\n\n<li>n=5 (<em>la grandezza del mio campione<\/em>)<\/li>\n<\/ul>\n\n\n\n<p>Vediamo di fare i semplici calcoli, ricordando come si calcolano i coefficienti binomiali:<\/p>\n\n\n\n\\(\nCoefficienti\\ binomiali:\\frac{n!}{r!(n-r)!}\\ quindi:\\\\\n\\\\ \\\\\nC^M_x=C^6_2=15\\\\\nC^{N-M}_{n-x}=C^{24}_3=2024\\\\\nC^{N}_n=C^{30}_5=142506\\\\\n\\frac{15&#215;2024}{142506}=0,21304366\\\\ \\\\\n\\)\n\n\n\n<p>Nell&#8217;uso quotidiano, posso uso la calcolatrice scientifica Casio per non dover fare tutti i calcoli a mano:<\/p>\n\n\n\n<pre class=\"wp-block-preformatted\">MENU \nSTAT\nDIST [F5]\nD [F6]\nH-GEO [F3]\nHpd [F1]<\/pre>\n\n\n\n<p>e inserisco i miei dati:<\/p>\n\n\n\n<pre id=\"block-9ae706a3-1f7a-4e50-b09d-f1f03d1b364b\" class=\"wp-block-preformatted\">Data: Variable\nx: 2\nn:5\nM:6\nN:30<\/pre>\n\n\n\n<p><strong>Il risultato \u00e8 0.21304366, vale a dire il 21,3%<\/strong><\/p>\n\n\n\n<p>Vediamo come risolvere lo stesso problema in R:<\/p>\n\n\n\n<pre class=\"wp-block-preformatted\"># Definizione dei parametri della distribuzione ipergeometrica\nx &lt;- 2 # voglio sapere la probabilit\u00e0 di trovare 2 pezzi difettosi\nn &lt;- 5 # la grandezza del mio campione\nM &lt;- 6 # i pezzi malfunzionanti complessivi presenti nel lotto\nN &lt;- 30 # il numero di pezzi complessivi del mio lotto\n\n# Calcolo della probabilit\u00e0 con la funzione dhyper\nprob &lt;- dhyper(x, M, N - M, n)\nprob<\/pre>\n\n\n\n<p>e ottengo in output:<\/p>\n\n\n\n<pre class=\"wp-block-preformatted\">[1] 0.2130437<\/pre>\n\n\n\n<hr class=\"wp-block-separator has-alpha-channel-opacity\"\/>\n\n\n\n<h2 class=\"wp-block-heading\">Pu\u00f2 mancare un esempio con urna e palline?<\/h2>\n\n\n\n<div class=\"wp-block-uagb-image aligncenter uagb-block-eb7e4992 wp-block-uagb-image--layout-default wp-block-uagb-image--effect-static wp-block-uagb-image--align-center\"><figure class=\"wp-block-uagb-image__figure\"><img decoding=\"async\" srcset=\"https:\/\/www.gironi.it\/blog\/wp-content\/uploads\/2023\/03\/07bed749-7708-4f32-8b92-d46342b9f532-300x300.jpeg \" src=\"https:\/\/www.gironi.it\/blog\/wp-content\/uploads\/2023\/03\/07bed749-7708-4f32-8b92-d46342b9f532-300x300.jpeg\" alt=\"Distribuzione ipergeometrica : estrazione di palline bianche o nere da un'urna. \" class=\"uag-image-2945\" width=\"300\" height=\"300\" title=\"\" loading=\"lazy\"\/><\/figure><\/div>\n\n\n\n<p>Facciamo ora un altro esempio: stimiamo la probabilit\u00e0 che in un\u2019urna con 10 palline bianche e 5 nere, estraendo 4 palline senza reintroduzione, se ne ottengano 3 bianche e 1 nera. Quindi:<\/p>\n\n\n\n<ul class=\"wp-block-list\">\n<li>x=3 Numero di palline bianche estratte<\/li>\n\n\n\n<li>n=4 Numero di palline estratte<\/li>\n\n\n\n<li>M=5 Numero di palline nere<\/li>\n\n\n\n<li>N = 15 Numero totale di palline<\/li>\n<\/ul>\n\n\n\n<p>Abbiamo visto che in R, \u00e8 possibile utilizzare la funzione <code>dhyper<\/code> per calcolare la probabilit\u00e0 di estrarre 3 palline bianche e 1 nera dall&#8217;urna descritta. <\/p>\n\n\n\n<p>Ecco il codice R:<\/p>\n\n\n\n<pre class=\"wp-block-preformatted\"># Definizione dei parametri della distribuzione ipergeometrica\nx &lt;- 3 # Numero di palline bianche estratte\nn &lt;- 4 # Numero di palline estratte\nM &lt;- 5 # Numero di palline nere\nN &lt;- 15 # Numero totale di palline\n\n# Calcolo della probabilit\u00e0 con la funzione dhyper\nprob &lt;- dhyper(x, M, N - M, n)\nprob<\/pre>\n\n\n\n<p>La probabilit\u00e0 di estrarre 3 palline bianche e 1 nera \u00e8 quindi 0.07326007, ovvero circa il 7,33%.<\/p>\n\n\n\n<h2 class=\"wp-block-heading\">Per approfondire il tema della distribuzione ipergeometrica<\/h2>\n\n\n\n<ul class=\"wp-block-list\">\n<li><a href=\"https:\/\/it.wikipedia.org\/wiki\/Distribuzione_ipergeometrica\" target=\"_blank\" rel=\"noreferrer noopener\">Distribuzione ipergeometrica &#8211; Wikipedia<\/a><\/li>\n\n\n\n<li><a href=\"https:\/\/www.webtutordimatematica.it\/materie\/statistica-e-probabilita\/distribuzioni-di-probabilita-discrete\/distribuzione-ipergeometrica\" target=\"_blank\" rel=\"noreferrer noopener\">Distribuzione ipergeometrica &#8211; WebTutorDiMatematica.it<\/a><\/li>\n\n\n\n<li><a href=\"https:\/\/www.okpedia.it\/distribuzione-ipergeometrica\" target=\"_blank\" rel=\"noreferrer noopener\">Distribuzione ipergeometrica &#8211; Okpedia<\/a><\/li>\n<\/ul>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Abbiamo visto che la distribuzione&nbsp;binomiale&nbsp;si basa sull\u2019ipotesi di una popolazione infinita N, condizione che si pu\u00f2 realizzare in pratica campionando da una popolazione finita&nbsp;con reintroduzione. 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