- Definiamo la distribuzione binomiale negativa (o di Pascal)<\/a>
- Esempi di utilizzo della distribuzione binomiale negativa<\/a>
- Differenze tra la distribuzione geometrica e quella di Pascal<\/a>
- Link a risorse autorevoli per approfondire l'argomento<\/a><\/ol>\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\n\n\n
Definiamo la distribuzione binomiale negativa (o di Pascal)<\/h2>\n\n\n\n
La distribuzione binomiale negativa \u00e8 una distribuzione di probabilit\u00e0 discreta<\/strong> che descrive il numero di prove necessarie per ottenere un certo numero di successi in una serie di prove indipendenti. <\/p>\n\n\n
\n![\"Raffigurazione](\"https:\/\/www.gironi.it\/blog\/wp-content\/uploads\/2023\/03\/distribuzione-di-Pascal.jpg\")
<\/figure>\n<\/div>\n\n\nSi dice che una prova ha successo con probabilit\u00e0 p, e si vuole ottenere un totale di r successi. La distribuzione binomiale negativa fornisce la probabilit\u00e0 di ottenere r successi nelle prime n prove<\/strong>.<\/p>\n\n\n\n
I parametri utilizzati nella distribuzione binomiale negativa sono:<\/p>\n\n\n\n
- \n
- la probabilit\u00e0 di successo p<\/strong>, che indica la probabilit\u00e0 di ottenere un successo in una singola prova.<\/li>\n\n\n\n
- il numero di successi desiderati r<\/strong>, che indica il numero totale di successi che si vogliono ottenere.<\/li>\n\n\n\n
- il numero di prove necessarie n<\/strong>, che indica il numero di prove che devono essere effettuate per ottenere r successi.<\/li>\n<\/ul>\n\n\n\n
La distribuzione binomiale negativa \u00e8 spesso indicata con la seguente notazione:<\/p>\n\n\n\n\\(\nX \\sim NB(r,p) \\\\\n\\)\n\n\n\n
dove X indica il numero di prove necessarie per ottenere r successi, e il simbolo “~” significa “distribuito come”.<\/p>\n\n\n\n
Esempi di utilizzo della distribuzione binomiale negativa<\/h2>\n\n\n\n
La distribuzione binomiale negativa pu\u00f2 essere applicata in diverse situazioni, ad esempio:<\/p>\n\n\n\n
- \n
- Nel marketing, per calcolare il numero di tentativi necessari per ottenere un certo numero di vendite o conversioni.<\/li>\n\n\n\n
- In biologia, per calcolare il numero di tentativi necessari per ottenere un certo numero di successi in una serie di esperimenti (ad esempio, il numero di tentativi necessari per isolare un determinato ceppo batterico).<\/li>\n\n\n\n
- In ingegneria, per calcolare il numero di ripetizioni necessarie per testare la resistenza di un materiale o di una struttura.<\/li>\n<\/ul>\n\n\n\n
Per calcolare la probabilit\u00e0 di ottenere r successi nelle prime n prove, possiamo utilizzare la seguente formula:<\/p>\n\n\n\n\\(\nP(X = n) = {n-1 \\choose r-1} p^r (1-p)^{n-r} \\\\\n\\)\n\n\n\n
dove X indica il numero di prove necessarie per ottenere r successi, p indica la probabilit\u00e0 di successo in una singola prova, e C indica il coefficiente binomiale.<\/p>\n\n\n\n
Ad esempio, supponiamo di voler calcolare la probabilit\u00e0 di ottenere 3 teste lanciando una moneta equilibrata (probabilit\u00e0 di successo p=0.5). Se supponiamo che siano necessari 5 lanci per ottenere 3 teste, possiamo utilizzare la distribuzione binomiale negativa per calcolare la probabilit\u00e0 di successo:<\/p>\n\n\n\n\\(\nP(X = 5) = {4 \\choose 2} \\cdot 0.5^3 \\cdot 0.5^2 = 0.3125 \\\\\n\\)\n\n\n\n
Ci\u00f2 significa che la probabilit\u00e0 di ottenere 3 teste in 5 lanci \u00e8 del 31.25%.<\/p>\n\n\n\n
Differenze tra la distribuzione geometrica e quella di Pascal<\/h2>\n\n\n\n
La distribuzione binomiale negativa e la distribuzione geometrica<\/a> sono entrambe distribuzioni di probabilit\u00e0 discrete utilizzate per modellare il numero di prove necessarie per ottenere un certo numero di successi. Tuttavia, le due distribuzioni differiscono nella definizione del successo e nell’obiettivo della modellizzazione.<\/p>\n\n\n\n
La distribuzione geometrica viene utilizzata per modellare il numero di prove necessarie per ottenere il primo successo in una sequenza di prove indipendenti identicamente distribuite. Ad esempio, la probabilit\u00e0 di ottenere il primo successo in una moneta equilibrata pu\u00f2 essere modellata con una distribuzione geometrica, dove la probabilit\u00e0 di successo \u00e8 p=0.5 e il numero di prove necessarie pu\u00f2 assumere i valori 1, 2, 3, ….<\/p>\n\n\n\n
Scritta in termini pi\u00f9 precisi:<\/p>\n\n\n\n
La differenza principale tra la distribuzione geometrica<\/a> e quella di Pascal \u00e8 che la distribuzione geometrica rappresenta il numero totale di tentativi necessari per ottenere un successo, mentre la distribuzione di Pascal rappresenta il numero di fallimenti prima del k-esimo successo in una successione di esperimenti bernoulliani indipendenti e identicamente distribuiti.<\/p>\n\n\n\n
In altre parole, la distribuzione geometrica descrive il tempo necessario per ottenere il primo successo, mentre la distribuzione di Pascal descrive il tempo necessario per ottenere un certo numero fisso di successi. Inoltre, la distribuzione geometrica ha solo un parametro<\/strong> (la probabilit\u00e0 di successo), mentre la distribuzione di Pascal ha due parametri <\/strong>(il numero desiderato di successi e la probabilit\u00e0 di successo)<\/p>\n\n\n\n
Le formule per la distribuzione binomiale negativa e la distribuzione geometrica sono simili, ma con alcune differenze nei parametri e nell’obiettivo della modellizzazione.<\/p>\n\n\n\n
Ad esempio, consideriamo il caso di una moneta equilibrata con p=0.5. La probabilit\u00e0 di ottenere il primo successo in 3 prove pu\u00f2 essere calcolata con una distribuzione geometrica:<\/p>\n\n\n\n\\(\nP(X = 3) = (1-0.5)^2 \\cdot 0.5 = 0.125 \\\\\n\\)\n\n\n\n
dove X indica il numero di prove necessarie per ottenere il primo successo.<\/p>\n\n\n\n
D’altra parte, la probabilit\u00e0 di ottenere 3 successi in 5 prove pu\u00f2 essere calcolata con una distribuzione binomiale negativa:<\/p>\n\n\n\n\\(\nP(X = 5) = {4 \\choose 2} \\cdot 0.5^3 \\cdot 0.5^2 = 0.3125 \\\\\n\\)\n\n\n\n
dove X indica il numero di prove necessarie per ottenere 3 successi.<\/p>\n\n\n\n
Link a risorse autorevoli per approfondire l’argomento<\/h2>\n\n\n\n
- \n
- Pascal Distribution – an overview | ScienceDirect Topics<\/a><\/li>\n\n\n\n
- http:\/\/math.clarku.edu\/~djoyce\/ma217\/distributions.pdf<\/a> (pdf file)<\/li>\n<\/ul>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"
La distribuzione binomiale negativa descrive il numero di prove necessarie per ottenere un certo numero di successi in una serie di prove indipendenti. Ad esempio, potrebbe essere utilizzata per calcolare la probabilit\u00e0 di ottenere tre teste lanciando una moneta 5 volte, supponendo che la moneta sia bilanciata e quindi che a ogni lancio la probabilit\u00e0 … Leggi tutto “La distribuzione binomiale negativa (o distribuzione di Pascal)”<\/span><\/a><\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"_uag_custom_page_level_css":"","footnotes":""},"categories":[645,629],"tags":[],"class_list":["post-2889","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-probability","category-statistica-it"],"lang":"it","translations":{"it":2889,"en":3272},"uagb_featured_image_src":{"full":false,"thumbnail":false,"medium":false,"medium_large":false,"large":false,"1536x1536":false,"2048x2048":false,"post-thumbnail":false},"uagb_author_info":{"display_name":"paolo","author_link":"https:\/\/www.gironi.it\/blog\/author\/paolo\/"},"uagb_comment_info":1,"uagb_excerpt":"La distribuzione binomiale negativa descrive il numero di prove necessarie per ottenere un certo numero di successi in una serie di prove indipendenti. Ad esempio, potrebbe essere utilizzata per calcolare la probabilit\u00e0 di ottenere tre teste lanciando una moneta 5 volte, supponendo che la moneta sia bilanciata e quindi che a ogni lancio la probabilit\u00e0…","_links":{"self":[{"href":"https:\/\/www.gironi.it\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/2889","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/www.gironi.it\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/www.gironi.it\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.gironi.it\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.gironi.it\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=2889"}],"version-history":[{"count":5,"href":"https:\/\/www.gironi.it\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/2889\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":2961,"href":"https:\/\/www.gironi.it\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/2889\/revisions\/2961"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/www.gironi.it\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=2889"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/www.gironi.it\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=2889"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/www.gironi.it\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=2889"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}
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