{"id":2731,"date":"2023-03-15T10:46:10","date_gmt":"2023-03-15T09:46:10","guid":{"rendered":"https:\/\/www.gironi.it\/blog\/?p=2731"},"modified":"2026-02-25T09:22:40","modified_gmt":"2026-02-25T08:22:40","slug":"probabilita-permutazioni-e-combinazioni","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/www.gironi.it\/blog\/probabilita-permutazioni-e-combinazioni\/","title":{"rendered":"I primi passi nel mondo della probabilit\u00e0: spazio campionario, eventi, permutazioni e combinazioni"},"content":{"rendered":"\n<p>La <strong>probabilit\u00e0<\/strong> e la <strong>combinatoria<\/strong> sono due concetti fondamentali nella matematica e nella statistica, che ci aiutano a comprendere e a interpretare molti fenomeni della vita quotidiana. In questo post  introduttivo&#8221;sfioriamo&#8221; insieme i concetti  principali vedendo come possano essere applicati in diversi contesti.<\/p>\n\n\n\n<!--more-->\n\n\n\t\t\t\t<div class=\"wp-block-uagb-table-of-contents uagb-toc__align-left uagb-toc__columns-1  uagb-block-dd0eddc7      \"\n\t\t\t\t\tdata-scroll= \"1\"\n\t\t\t\t\tdata-offset= \"30\"\n\t\t\t\t\tstyle=\"\"\n\t\t\t\t>\n\t\t\t\t<div class=\"uagb-toc__wrap\">\n\t\t\t\t\t\t<div class=\"uagb-toc__title\">\n\t\t\t\t\t\t\tDi cosa parleremo\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t<div class=\"uagb-toc__list-wrap \">\n\t\t\t\t\t\t<ol class=\"uagb-toc__list\"><li class=\"uagb-toc__list\"><a href=\"#la-probabilit\u00e0\" class=\"uagb-toc-link__trigger\">La Probabilit\u00e0<\/a><li class=\"uagb-toc__list\"><a href=\"#il-principio-di-additivit\u00e0-delle-probabilit\u00e0-per-eventi-incompatibili\" class=\"uagb-toc-link__trigger\">Il principio di additivit\u00e0 delle probabilit\u00e0 per eventi incompatibili<\/a><li class=\"uagb-toc__list\"><a href=\"#il-principio-di-moltiplicazione-delle-probabilit\u00e0\" class=\"uagb-toc-link__trigger\">Il principio di moltiplicazione delle probabilit\u00e0<\/a><li class=\"uagb-toc__list\"><a href=\"#la-permutazione\" class=\"uagb-toc-link__trigger\">La Permutazione<\/a><ul class=\"uagb-toc__list\"><li class=\"uagb-toc__list\"><a href=\"#quanti-modi-diversi-ci-sono-per-disporre-4-libri-su-una-mensola\" class=\"uagb-toc-link__trigger\">Quanti modi diversi ci sono per disporre 4 libri su una mensola?<\/a><li class=\"uagb-toc__list\"><li class=\"uagb-toc__list\"><a href=\"#quante-permutazioni-posso-effettuare-in-un-insieme-di-5-lettere\" class=\"uagb-toc-link__trigger\">Quante permutazioni posso effettuare in un insieme di 5 lettere?<\/a><li class=\"uagb-toc__list\"><li class=\"uagb-toc__list\"><a href=\"#quante-permutazioni-sono-possibili-tra-5-lettere-prese-a-gruppi-di-3\" class=\"uagb-toc-link__trigger\">Quante permutazioni sono possibili tra 5 lettere prese a gruppi di 3 ?<\/a><\/li><\/ul><\/li><li class=\"uagb-toc__list\"><a href=\"#il-concetto-di-combinazione\" class=\"uagb-toc-link__trigger\">Il concetto di Combinazione<\/a><ul class=\"uagb-toc__list\"><li class=\"uagb-toc__list\"><a href=\"#quante-sono-le-combinazioni-possibili-per-un-insieme-di-10-persone-prese-a-gruppi-di-3\" class=\"uagb-toc-link__trigger\">Quante sono le combinazioni possibili per un insieme di 10 persone prese a gruppi di 3?<\/a><li class=\"uagb-toc__list\"><li class=\"uagb-toc__list\"><a href=\"#una-classe-\u00e8-composta-da-12-ragazzi-e-4-ragazze-tra-i-sedici-allievi-se-ne-scelgono-tre-a-caso-qual-\u00e8-la-probabilit\u00e0-che-essi-siano-tutti-maschi\" class=\"uagb-toc-link__trigger\">Una classe \u00e8 composta da 12 ragazzi e 4 ragazze. Tra i sedici allievi se ne scelgono tre a caso: qual \u00e8 la probabilit\u00e0 che essi siano tutti maschi?<\/a><\/li><\/ul><\/li><\/ul><\/li><li class=\"uagb-toc__list\"><a href=\"#la-distribuzione-binomiale-come-esempio-di-applicazione-della-probabilit\u00e0-e-della-combinatoria\" class=\"uagb-toc-link__trigger\">La distribuzione binomiale come esempio di applicazione della probabilit\u00e0 e della combinatoria<\/a><ul class=\"uagb-toc__list\"><li class=\"uagb-toc__list\"><a href=\"#potrebbe-interessarti-anche\" class=\"uagb-toc-link__trigger\">Potrebbe interessarti anche<\/a><\/ul><\/ul><\/ul><\/ol>\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\n\n\n<h2 class=\"wp-block-heading\">La Probabilit\u00e0<\/h2>\n\n\n\n<p class=\"has-light-gray-background-color has-background\">La probabilit\u00e0 \u00e8 una misura matematica che ci indica la possibilit\u00e0 che un evento si verifichi. In altre parole, la probabilit\u00e0 ci dice quanti casi favorevoli ci sono rispetto a tutti i casi possibili.<\/p>\n\n\n\n<p class=\"has-text-align-left has-white-background-color has-background\">La probabilit\u00e0 si basa su due concetti fondamentali: lo <strong>spazio campionario<\/strong> e l&#8217;<strong>evento<\/strong>.<\/p>\n\n\n\n<p>Lo <strong>spazio campionario<\/strong> \u00e8 l&#8217;insieme di tutti i possibili risultati di un esperimento casuale. <br>Ad esempio, se lanciamo una moneta, lo spazio campionario \u00e8 {testa, croce}. Se lanciamo due dadi, lo spazio campionario \u00e8 {(1,1), (1,2), \u2026, (6,6)}.<\/p>\n\n\n\n<p>Un <strong>evento<\/strong> \u00e8 un sottoinsieme dello spazio campionario che ci interessa. <br>Per esempio, se lanciamo una moneta e ci interessa sapere se uscir\u00e0 testa o croce, l&#8217;evento \u00e8 {testa} o {croce}. Se lanciamo due dadi e vogliamo sapere se la somma dei numeri \u00e8 pari o dispari, l&#8217;evento \u00e8 {(2,2), (2,4), \u2026, (6,6)} o {(1,2), (1 ,4), \u2026, (5 ,6)}.<\/p>\n\n\n\n<p class=\"has-light-gray-background-color has-background\"><strong>La probabilit\u00e0 di un evento si calcola dividendo il numero dei casi favorevoli al verificarsi dell&#8217;evento per il numero dei casi possibili nello spazio campionario. <\/strong><\/p>\n\n\n\n<div class=\"wp-block-uagb-image aligncenter uagb-block-9e81534e wp-block-uagb-image--layout-default wp-block-uagb-image--effect-static wp-block-uagb-image--align-center\"><figure class=\"wp-block-uagb-image__figure\"><img decoding=\"async\" srcset=\"https:\/\/www.gironi.it\/blog\/wp-content\/uploads\/2023\/03\/probabilita.jpg \" src=\"https:\/\/www.gironi.it\/blog\/wp-content\/uploads\/2023\/03\/probabilita.jpg\" alt=\"immagine di dadi per suggerire il concetto di probabilit\u00e0\" class=\"uag-image-2774\" width=\"\" height=\"\" title=\"\" loading=\"lazy\"\/><\/figure><\/div>\n\n\n\n<p>Per esempio:<\/p>\n\n\n\n<p>se abbiamo un dado a sei facce e vogliamo sapere la probabilit\u00e0 di ottenere un 4 tirando il dado, abbiamo 1 caso favorevole (la faccia con il numero 4) rispetto a 6 casi possibili (le sei facce del dado). <br><strong>Quindi, la probabilit\u00e0 di ottenere un 4 \u00e8 di 1\/6.<\/strong><\/p>\n\n\n\n<p>Altri possibili e semplici esempi:<\/p>\n\n\n\n<ul class=\"wp-block-list\">\n<li>La probabilit\u00e0 che esca testa lanciando una moneta \u00e8 1\/2<\/li>\n\n\n\n<li>La probabilit\u00e0 che la somma dei numeri sia pari lanciando due dadi \u00e8 18\/36 = 1\/2<\/li>\n<\/ul>\n\n\n\n<p class=\"has-light-gray-background-color has-background\"><strong>La probabilit\u00e0 si esprime in numeri compresi tra 0 e 1, dove 0 indica l&#8217;impossibilit\u00e0 dell&#8217;evento e 1 indica la certezza dell&#8217;evento. <\/strong><\/p>\n\n\n\n<p>Un valore di probabilit\u00e0 vicino a 0 indica una bassa possibilit\u00e0 che l&#8217;evento si verifichi, mentre un valore di probabilit\u00e0 vicino a 1 indica una alta possibilit\u00e0 che l&#8217;evento si verifichi.<\/p>\n\n\n\n<h2 class=\"wp-block-heading\">Il principio di additivit\u00e0 delle probabilit\u00e0 per eventi incompatibili<\/h2>\n\n\n\n<p class=\"has-light-gray-background-color has-background\">Il principio di additivit\u00e0&nbsp;delle probabilit\u00e0&nbsp;per <strong>eventi incompatibili<\/strong>&nbsp;afferma&nbsp;che&nbsp;la probabilit\u00e0 dell&#8217;unione&nbsp;di due o&nbsp;pi\u00f9&nbsp;eventi incompatibili \u00e8 uguale alla somma delle loro probabilit\u00e0. <\/p>\n\n\n\n<p>Gli eventi incompatibili sono eventi che non possono verificarsi contemporaneamente, ovvero se uno si verifica,&nbsp;l&#8217;altro non&nbsp;pu\u00f2 verificarsi. <br>Ad esempio, nel lancio di un dado, gli eventi &#8220;uscita del numero 3&#8221; e &#8220;uscita del numero 5&#8221; sono incompatibili. In questo caso, la probabilit\u00e0 dell&#8217;unione degli eventi (cio\u00e8&nbsp;l&#8217;uscita del&nbsp;numero 3 o del numero 5) \u00e8&nbsp;pari alla&nbsp;somma delle loro probabilit\u00e0 (1\/6 + 1\/6 = 1\/3).<\/p>\n\n\n\n<h2 class=\"wp-block-heading\">Il principio di moltiplicazione delle probabilit\u00e0<\/h2>\n\n\n\n<p class=\"has-light-gray-background-color has-background\">Il principio di moltiplicazione delle probabilit\u00e0 afferma che la probabilit\u00e0 dell&#8217;intersezione di due eventi \u00e8 uguale al prodotto delle loro&nbsp;probabilit\u00e0 individuali, <strong>se gli eventi sono indipendenti<\/strong>. <\/p>\n\n\n\n<p>In&nbsp;altre parole, se A e B sono due eventi indipendenti in un esperimento di probabilit\u00e0, allora la probabilit\u00e0 che entrambi si verifichino contemporaneamente \u00e8 data dal prodotto delle loro singole probabilit\u00e0: <\/p>\n\n\n\n<p>P(A \u2229 B) = P(A) x P(B).&nbsp;<\/p>\n\n\n\n<hr class=\"wp-block-separator has-alpha-channel-opacity\"\/>\n\n\n\n<p>Per calcolare la probabilit\u00e0 di eventi pi\u00f9 complessi o combinati tra loro si usano le regole della <strong>combinatoria<\/strong>, che studia le modalit\u00e0 con cui si possono formare gruppi di oggetti secondo determinati criteri.<\/p>\n\n\n\n<p>Due concetti importanti della combinatoria sono le <strong>permutazioni<\/strong> e le <strong>combinazioni<\/strong>.<\/p>\n\n\n\n<h2 class=\"wp-block-heading\">La Permutazione<\/h2>\n\n\n\n<p><strong>Le permutazioni sono i modi in cui si possono ordinare n oggetti distinti in n posizioni diverse<\/strong>. Per esempio:<\/p>\n\n\n\n<ul class=\"wp-block-list\">\n<li>Le permutazioni delle lettere A,B,C sono ABC ACB BAC BCA CAB CBA<\/li>\n\n\n\n<li>Il numero delle permutazioni di n oggetti distinti si calcola con il fattoriale n!, cio\u00e8 il prodotto dei numeri naturali da 1 a n<\/li>\n\n\n\n<li>Il numero delle permutazioni di A,B,C \u00e8 3! = 3 x 2 x 1 = 6<\/li>\n<\/ul>\n\n\n\n<p>Vediamo un po&#8217; di altri esempi:<\/p>\n\n\n\n<h6 class=\"wp-block-heading\"><strong>Quanti modi diversi ci sono per disporre 4 libri su una mensola?<\/strong><\/h6>\n\n\n\n<p>La risposta \u00e8: n!<br>Ricordo ancora che &#8220;!&#8221; indica il fattoriale, cio\u00e8 il prodotto di tutti i numeri interi positivi da 1 a n.<\/p>\n\n\n\n<p>Soluzione: 4! (4 fattoriale) = 24 modi diversi<\/p>\n\n\n\n<h6 class=\"wp-block-heading\"><strong><em>Quante permutazioni posso effettuare in un insieme di 5 lettere?<\/em><\/strong><\/h6>\n\n\n\n<p>5! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120<\/p>\n\n\n\n<p>Ci sono 120 permutazioni possibili di 5 lettere.<\/p>\n\n\n\n<h6 class=\"wp-block-heading\"><strong><em>Quante permutazioni sono possibili tra 5 lettere prese a gruppi di 3 ?<\/em><\/strong><\/h6>\n\n\n\n<p>n! \/ (n &#8211; r)!<\/p>\n\n\n\n<p>dove &#8220;n&#8221; rappresenta il numero di oggetti totali (in questo caso, le 5 lettere), e &#8220;r&#8221; rappresenta il numero di oggetti che desideriamo scegliere e disporre in un ordine specifico (in questo caso, 3 lettere).<\/p>\n\n\n\n<p>Quindi, sostituendo i valori, otteniamo:<\/p>\n\n\n\n<p>5! \/ (5 &#8211; 3)! = 5! \/ 2! = (5 x 4 x 3 x 2 x 1) \/ (2 x 1) = 60<\/p>\n\n\n\n<p>Quindi, ci sono 60 permutazioni possibili di 5 lettere prese a gruppi di 3.<\/p>\n\n\n\n<p class=\"has-light-gray-background-color has-background\">\u00c8 importante notare che, quando si sceglie un gruppo di oggetti da un insieme pi\u00f9 grande, <strong>l&#8217;ordine in cui gli oggetti vengono scelti conta<\/strong>. Se invece non ci interessasse l&#8217;ordine, dovremmo utilizzare la formula delle combinazioni.<\/p>\n\n\n\n<h2 class=\"wp-block-heading\">Il concetto di Combinazione<\/h2>\n\n\n\n<p>Le combinazioni sono i modi in cui si possono scegliere k oggetti tra n oggetti distinti <strong>senza tener conto dell&#8217;ordine<\/strong>. Per esempio,<\/p>\n\n\n\n<ul class=\"wp-block-list\">\n<li>Le combinazioni di due lettere tra A,B,C sono AB AC BC<\/li>\n\n\n\n<li>Il numero delle combinazioni di k oggetti tra n oggetti distinti si calcola con il coefficiente binomiale C(n,k) = n! \/ (k! x (n-k)!)<\/li>\n\n\n\n<li>Il numero delle combinazioni di due lettere tra A,B,C \u00e8 C(3 ,2) = 3! \/ (2! x (3 -2)!) = 3<\/li>\n<\/ul>\n\n\n\n<p>Vediamo qualche altro esempio:<\/p>\n\n\n\n<h6 class=\"wp-block-heading\"><strong><em>Quante sono le combinazioni possibili per un insieme di 10 persone prese a gruppi di 3?<\/em><\/strong><\/h6>\n\n\n\n<p>Per calcolare il numero di combinazioni possibili per un insieme di 10 persone prese a gruppi di 3, possiamo utilizzare la formula delle combinazioni:<\/p>\n\n\n\n<p>n! \/ (k! * (n &#8211; k)!)<\/p>\n\n\n\n<p>dove &#8220;n&#8221; rappresenta il numero di oggetti totali (in questo caso, le 10 persone) e &#8220;k&#8221; rappresenta il numero di oggetti che vogliamo scegliere senza preoccuparci dell&#8217;ordine (in questo caso, 3 persone).<\/p>\n\n\n\n<p>Quindi, sostituendo i valori, otteniamo:<\/p>\n\n\n\n<p>10! \/ (3! * (10 &#8211; 3)!) = (10 x 9 x 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1) \/ ((3 x 2 x 1) * (7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1)) = 120<\/p>\n\n\n\n<h6 class=\"wp-block-heading\"><strong><em>Una classe \u00e8 composta da 12 ragazzi e 4 ragazze. Tra i sedici allievi se ne scelgono tre a caso: qual \u00e8 la probabilit\u00e0 che essi siano tutti maschi?<\/em><\/strong><\/h6>\n\n\n\n<p>Questo esempio \u00e8 preso dall&#8217; Esame di stato, tema di matematica n 1 (PNI, a. s. 2000-2001- Corso di ordinamento. Liceo scientifico)<\/p>\n\n\n\n<p>La probabilit\u00e0 di scegliere tre allievi tutti maschi pu\u00f2 essere calcolata come il rapporto tra il numero di modi in cui possiamo scegliere tre maschi (se vogliamo scegliere tre allievi tutti maschi, dobbiamo infatti considerare tutti i possibili gruppi di 3 allievi maschi che possono essere formati scegliendoli tra i 12 ragazzi maschi) e il numero totale di modi in cui possiamo scegliere tre studenti tra tutti i sedici.<\/p>\n\n\n\n<p>Il numero di modi in cui possiamo scegliere tre maschi dalla classe di 12 ragazzi \u00e8 dato dalla combinazione di 3 elementi scelti tra i 12 ragazzi maschi. Possiamo calcolare questo numero utilizzando la formula della combinazione:<\/p>\n\n\n\n<p>C(12, 3) = 12! \/ (3! * (12-3)!) = 220<\/p>\n\n\n\n<p>Il numero totale di modi in cui possiamo scegliere tre allievi dalla classe di 16 studenti \u00e8 dato dalla combinazione di 3 elementi scelti tra i 16 allievi.<\/p>\n\n\n\n<p>C(16, 3) = 16! \/ (3! * (16-3)!) = 560<\/p>\n\n\n\n<p>Quindi, la probabilit\u00e0 di scegliere tre allievi tutti maschi \u00e8 data da:<\/p>\n\n\n\n<p>P(tre maschi) = C(12, 3) \/ C(16, 3) = 220 \/ 560 = 11 \/ 28<\/p>\n\n\n\n<h2 class=\"wp-block-heading\">La distribuzione binomiale come esempio di applicazione della probabilit\u00e0 e della combinatoria<\/h2>\n\n\n\n<p>In un <strong><a href=\"https:\/\/www.gironi.it\/blog\/distribuzioni-di-probabilita-distribuzioni-discrete-la-binomiale\/\" target=\"_blank\" rel=\"noreferrer noopener\">post specificamente dedicato alle distribuzioni di probabilit\u00e0<\/a><\/strong> ho esaminato in dettaglio le propriet\u00e0 della <strong><a href=\"https:\/\/www.gironi.it\/blog\/distribuzioni-di-probabilita-distribuzioni-discrete-la-binomiale\/\" target=\"_blank\" rel=\"noreferrer noopener\">distribuzione binomiale<\/a><\/strong>. Rimando ovviamente al post per tutti i dettagli.<br>In questa sede, vorrei per\u00f2 introdurre brevemente in maniera diretta e pratica la binomiale, al solo scopo di rispondere a quesiti del tipo:<\/p>\n\n\n\n<ul class=\"wp-block-list\">\n<li>Voglio conoscere la probabilit\u00e0 che in 10 lanci di una moneta esca testa 5 volte o meno.<\/li>\n\n\n\n<li>Voglio calcolare la probabilit\u00e0 che in 20 domande a risposta multipla (ogni domanda ha 4 scelte) si risponda correttamente a 15 domande o pi\u00f9, rispondendo totalmente a caso.<\/li>\n\n\n\n<li>Voglio trovare la probabilit\u00e0 che in 100 estrazioni (con reinserimento) da un\u2019urna contenente 10 palline bianche e 90 nere se ne estraggano meno di 20 bianche.<\/li>\n<\/ul>\n\n\n\n<p>Vediamo il primo quesito. Voglio sapere la probabilit\u00e0 che in 10 lanci di una moneta esca 5 volte o meno testa. <br>Procedendo per logica, dovrei calcolare la somma delle probabilit\u00e0 binomiali per k = 0, 1, 2, 3, 4 e 5. Cio\u00e8:<\/p>\n\n\n\n<pre class=\"wp-block-preformatted\">P(X &lt;= 5) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) + P(X = 3) + P(X = 4) + P(X = 5)<\/pre>\n\n\n\n<p>Usando la formula della probabilit\u00e0 binomiale e sostituendo n = 10 e p = 1\/2, si ottiene:<\/p>\n\n\n\n<pre class=\"wp-block-preformatted\">P(X &lt;= 5) = C(10 ,0) x (1\/2)^0 x (1\/2)^10 + C(10 ,1) x (1\/2)^1 x (1\/2)^9 + \u2026 + C(10 ,5) x (1\/2)^5 x (1\/2)^5<\/pre>\n\n\n\n<p>Semplificando i calcoli e usando una calcolatrice si ottiene:<\/p>\n\n\n\n<pre class=\"wp-block-preformatted\">P(X &lt;= 5) = &lt;0.001 + &lt;0.01 + &lt;0.04 + &lt;0.12 + &lt;0.21 + &lt;0.25\n\nP(X &lt;= 5) = 0.63<\/pre>\n\n\n\n<p>Quindi la probabilit\u00e0 che in 10 lanci di una moneta esca testa al massimo cinque volte \u00e8 circa il 63%.<\/p>\n\n\n\n<p>Esiste un metodo pi\u00f9 semplice per arrivare al risultato corretto? <\/p>\n\n\n\n<p>Possiamo introdurre la <strong>funzione di ripartizione della distribuzione binomiale<\/strong>.<\/p>\n\n\n\n<p>La funzione di ripartizione \u00e8 una funzione che calcola la probabilit\u00e0 che la variabile aleatoria X sia minore o uguale a un certo valore k. Si indica con F(k) e si definisce come:<\/p>\n\n\n\n<pre class=\"wp-block-preformatted\">F(k) = P(X &lt;= k) = somma delle probabilit\u00e0 binomiali per i = 0, 1, \u2026, k<\/pre>\n\n\n\n<p>Questa funzione pu\u00f2 essere calcolata con una formula approssimata o con una tabella precompilata. Per esempio, usando una tabella online come questa:<\/p>\n\n\n\n<p><a href=\"https:\/\/www.statisticshowto.com\/tables\/binomial-distribution-table\/\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\">https:\/\/www.statisticshowto.com\/tables\/binomial-distribution-table\/<\/a><\/p>\n\n\n\n<p>dove si pu\u00f2 trovare il valore di F(5) per n = 10 e p = 1\/2.<\/p>\n\n\n\n<p> Basta cercare nella riga corrispondente a n = 10 e nella colonna corrispondente a p = 0.5 e leggere il valore in corrispondenza di k = 5. Il valore \u00e8 0.623.<\/p>\n\n\n\n<div class=\"wp-block-uagb-image uagb-block-7ef0bf40 wp-block-uagb-image--layout-default wp-block-uagb-image--effect-static wp-block-uagb-image--align-none\"><figure class=\"wp-block-uagb-image__figure\"><img decoding=\"async\" srcset=\"https:\/\/www.gironi.it\/blog\/wp-content\/uploads\/2023\/03\/tabella-binomiale-1024x533.png \" src=\"https:\/\/www.gironi.it\/blog\/wp-content\/uploads\/2023\/03\/tabella-binomiale-1024x533.png\" alt=\"\" class=\"uag-image-2739\" width=\"\" height=\"\" title=\"\" loading=\"lazy\"><\/figure><\/div>\n\n\n\n<p>Ovviamente, \u00e8 molto pi\u00f9 comodo usare R oppure Python, specialmente per numeri pi\u00f9 elevati.<\/p>\n\n\n\n<p>In R, basta usare la funzione pbinom che calcola la probabilit\u00e0 cumulativa di ottenere un certo numero di successi in un certo numero di prove. Per esempio:<\/p>\n\n\n\n<pre class=\"wp-block-preformatted\"># Probabilit\u00e0 di ottenere 5 o meno teste in 10 lanci\npbinom(5, size = 10, prob = 0.5)\n# Risultato: 0.6230469<\/pre>\n\n\n\n<p>Per usare Python, baster\u00e0 sfruttare la libreria scipy.stats e la classe binom che rappresenta una variabile casuale binomiale. Per esempio:<\/p>\n\n\n\n<pre class=\"wp-block-preformatted\"># Importare la libreria\nfrom scipy.stats import binom\n\n# Probabilit\u00e0 di ottenere 5 o meno teste in 10 lanci\nbinom.cdf(5, n = 10, p = 0.5)\n# Risultato: 0.623046875<\/pre>\n\n\n\n<p>Veniamo al secondo quesito. <\/p>\n\n\n\n<p>Vogliamo calcolare la probabilit\u00e0 che in 20 domande a risposta multipla si risponda correttamente a 15 domande o pi\u00f9. Se assumiamo che ogni domanda abbia 4 opzioni e solo una sia corretta, allora la probabilit\u00e0 di successo \u00e8 p = 0.25. Quindi si deve calcolare:<\/p>\n\n\n\n<pre class=\"wp-block-preformatted\">P(X &gt;= 15) = P(X = 15) + P(X = 16) + P(X = 17) + P(X = 18) + P(X = 19) + P(X = 20)<\/pre>\n\n\n\n<p>La formula della probabilit\u00e0 binomiale \u00e8:<\/p>\n\n\n\n\\(\nP(X = x) = {n \\choose x} p^x (1-p)^{n-x} \\\\\n\\)\n\n\n\n<p>Usando la formula della probabilit\u00e0 binomiale, otteniamo:<\/p>\n\n\n\n\\(\nP(X \\geq 15) \\approx 0.0002\n\\)\n\n\n\n<p>Quindi la probabilit\u00e0 \u00e8 molto, molto bassa&#8230;meglio studiare!<\/p>\n\n\n\n<p>Veniamo al terzo quesito. <\/p>\n\n\n\n<p>Voglio trovare la probabilit\u00e0 che in 100 estrazioni da un\u2019urna contenente 10 palline bianche e 90 nere se ne estraggano meno di 20 bianche. Se assumiamo che le estrazioni siano con reinserimento, allora la probabilit\u00e0 di successo (estrarre una pallina bianca) \u00e8 p = 0.1. Quindi devo calcolare:<\/p>\n\n\n\n$$\nP(X &lt; 20) = P(X \\leq 19) = \\sum_{x=0}^{19} {100 \\choose x} (0.1)^x (0.9)^{100-x}\n$$\n\n\n\ne ottengo:\n$$\nP(X &lt; 20) \\approx 0.9988\n$$\n\n\n\n<p>Quindi in questo caso la probabilit\u00e0 \u00e8 molto alta.<\/p>\n\n\n<!-- internal-links-section -->\n<h3>Potrebbe interessarti anche<\/h3>\n<ul>\n<li><a href=\"https:\/\/www.gironi.it\/blog\/statistica-bayesiana\/\">Statistica bayesiana: come imparare dai dati, un passo alla volta<\/a><\/li>\n<\/ul>","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>La probabilit\u00e0 e la combinatoria sono due concetti fondamentali nella matematica e nella statistica, che ci aiutano a comprendere e a interpretare molti fenomeni della vita quotidiana. 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