{"id":2731,"date":"2023-03-15T10:46:10","date_gmt":"2023-03-15T09:46:10","guid":{"rendered":"https:\/\/www.gironi.it\/blog\/?p=2731"},"modified":"2026-10-04T21:54:29","modified_gmt":"2026-10-04T20:54:29","slug":"probabilita-permutazioni-e-combinazioni","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/www.gironi.it\/blog\/probabilita-permutazioni-e-combinazioni\/","title":{"rendered":"Probabilit\u00e0: spazio campionario, eventi, permutazioni e combinazioni"},"content":{"rendered":"\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Quante probabilit\u00e0 ci sono che una pagina vada in prima pagina? O che un test A\/B dia un risultato affidabile? Domande come queste \u2014 all&#8217;apparenza molto diverse \u2014 condividono la stessa radice: per rispondere servono <strong>probabilit\u00e0<\/strong> e <strong>combinatoria<\/strong>. In questo post gettiamo le basi, partendo dallo spazio campionario ed esplorando insieme gli strumenti fondamentali che ci accompagneranno per tutto il percorso.<\/p>\n\n\n\n<!--more-->\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\"><strong>In sintesi:<\/strong> lo <strong>spazio campionario<\/strong> (\u03a9) \u00e8 l&#8217;insieme di tutti i risultati possibili di un esperimento casuale, un <strong>evento<\/strong> \u00e8 un suo sottoinsieme. Quando tutti i risultati sono ugualmente probabili, la probabilit\u00e0 di un evento \u00e8 il rapporto fra <strong>casi favorevoli e casi possibili<\/strong>: un 4 con un dado vale 1\/6. Per contare i casi senza elencarli si usa il calcolo combinatorio: <strong>permutazioni<\/strong> (n!) se si ordinano tutti gli elementi, <strong>disposizioni<\/strong> se se ne sceglie qualcuno e l&#8217;ordine conta, <strong>combinazioni<\/strong> se l&#8217;ordine non conta.<\/p>\n\n\n\t\t\t\t<div class=\"wp-block-uagb-table-of-contents uagb-toc__align-left uagb-toc__columns-1  uagb-block-dd0eddc7      \"\n\t\t\t\t\tdata-scroll= \"1\"\n\t\t\t\t\tdata-offset= \"30\"\n\t\t\t\t\tstyle=\"\"\n\t\t\t\t>\n\t\t\t\t<div class=\"uagb-toc__wrap\">\n\t\t\t\t\t\t<div class=\"uagb-toc__title\">\n\t\t\t\t\t\t\tDi cosa parleremo\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t<div class=\"uagb-toc__list-wrap \">\n\t\t\t\t\t\t<ol class=\"uagb-toc__list\"><li class=\"uagb-toc__list\"><a href=\"#come-si-calcola-una-probabilit\u00e0\" class=\"uagb-toc-link__trigger\">Come si calcola una probabilit\u00e0?<\/a><li class=\"uagb-toc__list\"><a href=\"#il-principio-di-additivit\u00e0-delle-probabilit\u00e0-per-eventi-incompatibili\" class=\"uagb-toc-link__trigger\">Il principio di additivit\u00e0 delle probabilit\u00e0 per eventi incompatibili<\/a><li class=\"uagb-toc__list\"><a href=\"#il-principio-di-moltiplicazione-delle-probabilit\u00e0\" class=\"uagb-toc-link__trigger\">Il principio di moltiplicazione delle probabilit\u00e0<\/a><li class=\"uagb-toc__list\"><a href=\"#cosa-sono-le-permutazioni\" class=\"uagb-toc-link__trigger\">Cosa sono le permutazioni?<\/a><li class=\"uagb-toc__list\"><a href=\"#cosa-sono-le-disposizioni\" class=\"uagb-toc-link__trigger\">Cosa sono le disposizioni?<\/a><li class=\"uagb-toc__list\"><a href=\"#cosa-sono-le-combinazioni\" class=\"uagb-toc-link__trigger\">Cosa sono le combinazioni?<\/a><li class=\"uagb-toc__list\"><a href=\"#unapplicazione-la-distribuzione-binomiale\" class=\"uagb-toc-link__trigger\">Un&#039;applicazione: la distribuzione binomiale<\/a><li class=\"uagb-toc__list\"><a href=\"#domande-frequenti\" class=\"uagb-toc-link__trigger\">Domande frequenti<\/a><\/ol>\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\n\n\n<h2 class=\"wp-block-heading\">Come si calcola una probabilit\u00e0?<\/h2>\n\n\n\n<p class=\"has-light-gray-background-color has-background wp-block-paragraph\">La probabilit\u00e0 \u00e8 una misura matematica che ci indica la possibilit\u00e0 che un evento si verifichi. In altre parole, quando tutti i casi sono ugualmente probabili, la probabilit\u00e0 \u00e8 il rapporto tra il numero dei casi favorevoli e il numero dei casi possibili.<\/p>\n\n\n\n<p class=\"has-text-align-left has-white-background-color has-background wp-block-paragraph\">La probabilit\u00e0 si basa su due concetti fondamentali: lo <strong>spazio campionario<\/strong> e l&#8217;<strong>evento<\/strong>.<\/p>\n\n\n\n<h3 class=\"wp-block-heading\">Che cos&#8217;\u00e8 lo spazio campionario?<\/h3>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Lo <strong>spazio campionario<\/strong> \u00e8 l&#8217;insieme di tutti i possibili risultati di un esperimento casuale. Di solito si indica con la lettera greca <strong>\u03a9<\/strong> (omega), a volte con S.<br>Se lanciamo una moneta, \u03a9 = {testa, croce}. Se lanciamo un dado, \u03a9 = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Se lanciamo due dadi, \u03a9 = {(1,1), (1,2), \u2026, (6,6)}: 36 coppie in tutto, perch\u00e9 ognuna delle 6 facce del primo dado pu\u00f2 combinarsi con ognuna delle 6 del secondo.<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Il numero degli elementi dello spazio campionario si scrive |\u03a9| (si legge \u00abcardinalit\u00e0 di omega\u00bb): nel lancio di due dadi |\u03a9| = 36. \u00c8 il denominatore di tutte le probabilit\u00e0 che calcoleremo fra poco, ed \u00e8 per questo che conviene sempre scriverlo per primo.<\/p>\n\n\n\n<h3 class=\"wp-block-heading\">Che cos&#8217;\u00e8 un evento?<\/h3>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Un <strong>evento<\/strong> \u00e8 un sottoinsieme dello spazio campionario che ci interessa.<br>Per esempio, se lanciamo una moneta e ci interessa sapere se uscir\u00e0 testa o croce, l&#8217;evento \u00e8 {testa} o {croce}. Se lanciamo due dadi e ci interessa se la somma dei numeri \u00e8 pari o dispari, l&#8217;evento \u00absomma pari\u00bb \u00e8 {(1,1), (1,3), (2,2), \u2026, (6,6)}, che contiene 18 coppie; l&#8217;evento \u00absomma dispari\u00bb \u00e8 {(1,2), (1,4), \u2026, (6,5)}, con le altre 18.<\/p>\n\n\n\n<h3 class=\"wp-block-heading\">Casi favorevoli su casi possibili<\/h3>\n\n\n\n<p class=\"has-light-gray-background-color has-background wp-block-paragraph\"><strong>La probabilit\u00e0 di un evento si calcola dividendo il numero dei casi favorevoli al verificarsi dell&#8217;evento per il numero dei casi possibili nello spazio campionario<\/strong>, purch\u00e9 i casi siano tutti ugualmente probabili (un dado equilibrato s\u00ec, un dado truccato no).<\/p>\n\n\n\n<div class=\"wp-block-uagb-image aligncenter uagb-block-9e81534e wp-block-uagb-image--layout-default wp-block-uagb-image--effect-static wp-block-uagb-image--align-center\"><figure class=\"wp-block-uagb-image__figure\"><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/www.gironi.it\/blog\/wp-content\/uploads\/2023\/03\/probabilita.jpg\" alt=\"immagine di dadi per suggerire il concetto di probabilit\u00e0\" class=\"uag-image-2774\" width=\"\" height=\"\" title=\"\" loading=\"lazy\" \/><\/figure><\/div>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Per esempio:<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">se abbiamo un dado a sei facce e vogliamo sapere la probabilit\u00e0 di ottenere un 4 tirando il dado, abbiamo 1 caso favorevole (la faccia con il numero 4) rispetto a 6 casi possibili (le sei facce del dado).<br><strong>Quindi, la probabilit\u00e0 di ottenere un 4 \u00e8 di 1\/6.<\/strong><\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Altri possibili e semplici esempi:<\/p>\n\n\n\n<ul class=\"wp-block-list\">\n<li>La probabilit\u00e0 che esca testa lanciando una moneta \u00e8 1\/2<\/li>\n\n\n\n<li>La probabilit\u00e0 che la somma dei numeri sia pari lanciando due dadi \u00e8 18\/36 = 1\/2<\/li>\n<\/ul>\n\n\n\n<p class=\"has-light-gray-background-color has-background wp-block-paragraph\"><strong>La probabilit\u00e0 si esprime in numeri compresi tra 0 e 1, dove 0 indica l&#8217;impossibilit\u00e0 dell&#8217;evento e 1 indica la certezza dell&#8217;evento.<\/strong><\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Un valore di probabilit\u00e0 vicino a 0 indica una bassa possibilit\u00e0 che l&#8217;evento si verifichi, mentre un valore di probabilit\u00e0 vicino a 1 indica una alta possibilit\u00e0 che l&#8217;evento si verifichi.<\/p>\n\n\n\n<h2 class=\"wp-block-heading\">Il principio di additivit\u00e0 delle probabilit\u00e0 per eventi incompatibili<\/h2>\n\n\n\n<p class=\"has-light-gray-background-color has-background wp-block-paragraph\">Il principio di additivit\u00e0\u00a0delle probabilit\u00e0\u00a0per <strong>eventi incompatibili<\/strong>\u00a0afferma\u00a0che\u00a0la probabilit\u00e0 dell&#8217;unione\u00a0di due o\u00a0pi\u00f9\u00a0eventi incompatibili \u00e8 uguale alla somma delle loro probabilit\u00e0.<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Gli eventi incompatibili sono eventi che non possono verificarsi contemporaneamente, ovvero se uno si verifica,\u00a0l&#8217;altro non\u00a0pu\u00f2 verificarsi.<br>Ad esempio, nel lancio di un dado, gli eventi &#8220;uscita del numero 3&#8221; e &#8220;uscita del numero 5&#8221; sono incompatibili. In questo caso, la probabilit\u00e0 dell&#8217;unione degli eventi (cio\u00e8\u00a0l&#8217;uscita del\u00a0numero 3 o del numero 5) \u00e8\u00a0pari alla\u00a0somma delle loro probabilit\u00e0 (1\/6 + 1\/6 = 1\/3).<\/p>\n\n\n\n<h2 class=\"wp-block-heading\">Il principio di moltiplicazione delle probabilit\u00e0<\/h2>\n\n\n\n<p class=\"has-light-gray-background-color has-background wp-block-paragraph\">Il principio di moltiplicazione delle probabilit\u00e0 afferma che la probabilit\u00e0 dell&#8217;intersezione di due eventi \u00e8 uguale al prodotto delle loro\u00a0probabilit\u00e0 individuali, <strong>se gli eventi sono indipendenti<\/strong>.<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">In\u00a0altre parole, se A e B sono due eventi indipendenti in un esperimento di probabilit\u00e0, allora la probabilit\u00e0 che entrambi si verifichino contemporaneamente \u00e8 data dal prodotto delle loro singole probabilit\u00e0:<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">P(A \u2229 B) = P(A) \u00d7 P(B).<\/p>\n\n\n\n<hr class=\"wp-block-separator has-alpha-channel-opacity\" \/>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Finora abbiamo calcolato probabilit\u00e0 molto semplici: un dado, due dadi, una moneta. Quando per\u00f2 il numero dei casi possibili diventa elevato, contarli uno per uno \u00e8 impossibile. \u00c8 qui che entra in gioco il <strong>calcolo combinatorio<\/strong>, che ci permette di determinare rapidamente quanti casi favorevoli e quanti casi possibili esistono, senza doverli elencare tutti.<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Tre sono gli strumenti fondamentali della combinatoria: le <strong>permutazioni<\/strong>, le <strong>disposizioni<\/strong> e le <strong>combinazioni<\/strong>. La differenza tra loro \u00e8 semplice: dipende da quanti elementi scegliamo e se l&#8217;ordine conta o no. Teniamo a mente questa mappa, poi li vediamo uno per uno.<\/p>\n\n\n\n<div class=\"wp-block-group has-light-gray-background-color has-background\"><div class=\"wp-block-group__inner-container is-layout-flow wp-block-group-is-layout-flow\">\n<p class=\"wp-block-paragraph\"><strong>Come orientarsi nella combinatoria<\/strong><\/p>\n\n\n\n<figure class=\"wp-block-table\"><table><thead><tr><th>Domanda<\/th><th>Strumento<\/th><\/tr><\/thead><tbody><tr><td>Uso <strong>tutti<\/strong> gli elementi?<\/td><td><strong>Permutazioni<\/strong> (n!)<\/td><\/tr><tr><td>Ne scelgo <strong>alcuni<\/strong> e l&#8217;<strong>ordine conta<\/strong>?<\/td><td><strong>Disposizioni<\/strong> (n!\/(n-r)!)<\/td><\/tr><tr><td>Ne scelgo <strong>alcuni<\/strong> e l&#8217;<strong>ordine non conta<\/strong>?<\/td><td><strong>Combinazioni<\/strong> (C(n,k))<\/td><\/tr><\/tbody><\/table><\/figure>\n<\/div><\/div>\n\n\n\n<h2 class=\"wp-block-heading\">Cosa sono le permutazioni?<\/h2>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\"><strong>Le permutazioni sono i modi in cui si possono ordinare n oggetti distinti in n posizioni diverse<\/strong>. Per esempio:<\/p>\n\n\n\n<ul class=\"wp-block-list\">\n<li>Le permutazioni delle lettere A,B,C sono ABC ACB BAC BCA CAB CBA<\/li>\n\n\n\n<li>Il numero delle permutazioni di n oggetti distinti si calcola con il fattoriale n!, cio\u00e8 il prodotto dei numeri naturali da 1 a n<\/li>\n\n\n\n<li>Il numero delle permutazioni di A,B,C \u00e8 3! = 3 x 2 x 1 = 6<\/li>\n<\/ul>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Vediamo un po&#8217; di altri esempi:<\/p>\n\n\n\n<h3 class=\"wp-block-heading\">Quanti modi diversi ci sono per disporre 4 libri su una mensola?<\/h3>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">La risposta \u00e8: n!<br>Ricordo ancora che &#8220;!&#8221; indica il fattoriale, cio\u00e8 il prodotto di tutti i numeri interi positivi da 1 a n.<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Soluzione: 4! (4 fattoriale) = 24 modi diversi<\/p>\n\n\n\n<h3 class=\"wp-block-heading\">Quante permutazioni sono possibili in un insieme di 5 lettere?<\/h3>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">5! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Ci sono 120 permutazioni possibili di 5 lettere.<\/p>\n\n\n\n<h2 class=\"wp-block-heading\">Cosa sono le disposizioni?<\/h2>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Finora abbiamo ordinato <strong>tutti<\/strong> gli elementi. Se invece scegliamo solo <strong>alcuni<\/strong> elementi da un insieme e l&#8217;ordine conta, parliamo di <strong>disposizioni semplici<\/strong>. La formula \u00e8 n! \/ (n &#8211; r)!, dove n \u00e8 il totale degli elementi e r \u00e8 quanti ne scegliamo. Le disposizioni rappresentano un caso intermedio tra permutazioni e combinazioni: non utilizziamo tutti gli elementi disponibili, ma soltanto una parte di essi, mantenendo significativo l&#8217;ordine.<\/p>\n\n\n\n<h3 class=\"wp-block-heading\">Quante disposizioni sono possibili tra 5 lettere prese a gruppi di 3?<\/h3>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">n! \/ (n &#8211; r)!<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">dove &#8220;n&#8221; rappresenta il numero di oggetti totali (in questo caso, le 5 lettere), e &#8220;r&#8221; rappresenta il numero di oggetti che desideriamo scegliere e disporre in un ordine specifico (in questo caso, 3 lettere).<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Quindi, sostituendo i valori, otteniamo:<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">5! \/ (5 &#8211; 3)! = 5! \/ 2! = (5 x 4 x 3 x 2 x 1) \/ (2 x 1) = 60<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Quindi, ci sono 60 disposizioni possibili di 5 lettere prese a gruppi di 3. L&#8217;ordine conta: ABC \u00e8 diverso da ACB, che \u00e8 diverso da BAC, e cos\u00ec via.<\/p>\n\n\n\n<p class=\"has-light-gray-background-color has-background wp-block-paragraph\">\u00c8 importante notare che, quando si sceglie un gruppo di oggetti da un insieme pi\u00f9 grande, <strong>l&#8217;ordine in cui gli oggetti vengono scelti conta<\/strong>. Se l&#8217;ordine conta siamo nel caso delle disposizioni; se invece non ci interessasse, dovremmo utilizzare la formula delle combinazioni.<\/p>\n\n\n\n<h2 class=\"wp-block-heading\">Cosa sono le combinazioni?<\/h2>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Le combinazioni sono i modi in cui si possono scegliere k oggetti tra n oggetti distinti <strong>senza tener conto dell&#8217;ordine<\/strong>. Per esempio,<\/p>\n\n\n\n<ul class=\"wp-block-list\">\n<li>Le combinazioni di due lettere tra A,B,C sono AB AC BC<\/li>\n\n\n\n<li>Il numero delle combinazioni di k oggetti tra n oggetti distinti si calcola con il coefficiente binomiale C(n,k) = n! \/ (k! x (n-k)!)<\/li>\n\n\n\n<li>Il numero delle combinazioni di due lettere tra A,B,C \u00e8 C(3 ,2) = 3! \/ (2! x (3 -2)!) = 3<\/li>\n<\/ul>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Vediamo qualche altro esempio:<\/p>\n\n\n\n<h3 class=\"wp-block-heading\">Quante sono le combinazioni possibili per un insieme di 10 persone prese a gruppi di 3?<\/h3>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Per calcolare il numero di combinazioni possibili per un insieme di 10 persone prese a gruppi di 3, possiamo utilizzare la formula delle combinazioni:<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">n! \/ (k! \u00d7 (n &#8211; k)!)<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">dove &#8220;n&#8221; rappresenta il numero di oggetti totali (in questo caso, le 10 persone) e &#8220;k&#8221; rappresenta il numero di oggetti che vogliamo scegliere senza preoccuparci dell&#8217;ordine (in questo caso, 3 persone).<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Quindi, sostituendo i valori, otteniamo:<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">10! \/ (3! \u00d7 (10 &#8211; 3)!) = (10 \u00d7 9 \u00d7 8) \/ (3 \u00d7 2 \u00d7 1) = 720 \/ 6 = 120<\/p>\n\n\n\n<h3 class=\"wp-block-heading\">Una classe \u00e8 composta da 12 ragazzi e 4 ragazze. Tra i sedici allievi se ne scelgono tre a caso: qual \u00e8 la probabilit\u00e0 che essi siano tutti maschi?<\/h3>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Questo esempio \u00e8 preso dall&#8217; Esame di stato, tema di matematica n 1 (PNI, a. s. 2000-2001- Corso di ordinamento. Liceo scientifico)<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">La probabilit\u00e0 di scegliere tre allievi tutti maschi pu\u00f2 essere calcolata come il rapporto tra il numero di modi in cui possiamo scegliere tre maschi e il numero totale di modi in cui possiamo scegliere tre studenti tra tutti i sedici.<br>Se vogliamo scegliere tre allievi tutti maschi, dobbiamo considerare tutti i possibili gruppi di 3 allievi maschi che possono essere formati scegliendoli tra i 12 ragazzi maschi.<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Il numero di modi in cui possiamo scegliere tre maschi dalla classe di 12 ragazzi \u00e8 dato dalla combinazione di 3 elementi scelti tra i 12 ragazzi maschi. Calcoliamolo con la formula della combinazione:<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">C(12, 3) = 12! \/ (3! \u00d7 (12-3)!) = 220<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Il numero totale di modi in cui possiamo scegliere tre allievi dalla classe di 16 studenti \u00e8 dato dalla combinazione di 3 elementi scelti tra i 16 allievi.<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">C(16, 3) = 16! \/ (3! \u00d7 (16-3)!) = 560<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Quindi, la probabilit\u00e0 di scegliere tre allievi tutti maschi \u00e8 data da:<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">P(tre maschi) = C(12, 3) \/ C(16, 3) = 220 \/ 560 = 11 \/ 28<\/p>\n\n\n\n<h3 class=\"wp-block-heading\">Un esempio concreto: scegliere le keyword per una landing page<\/h3>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Vediamo ora un esempio che forse tocca pi\u00f9 da vicino il lavoro di chi si occupa di analisi dati e SEO. Supponiamo di avere un elenco di 15 keyword e di volerne scegliere 3 come focus di una landing page.<\/p>\n\n\n\n<p class=\"has-light-gray-background-color has-background wp-block-paragraph\"><strong>Scenario 1: mi interessa solo sapere quali keyword scegliere<\/strong><br>L&#8217;ordine non conta: il gruppo {SEO tecnica, ottimizzazione contenuti, link building} \u00e8 lo stesso di {link building, SEO tecnica, ottimizzazione contenuti}.<br>Si tratta di una <strong>combinazione<\/strong>: C(15, 3) = 455 modi diversi.<\/p>\n\n\n\n<p class=\"has-light-gray-background-color has-background wp-block-paragraph\"><strong>Scenario 2: voglio stabilire anche l&#8217;ordine nel title<\/strong><br>Se la prima keyword deve andare nel title, la seconda nell&#8217;H1 e la terza nel body, allora l&#8217;ordine conta. Lo stesso gruppo di keyword in ordine diverso produce una pagina diversa.<br>Si tratta di una <strong>disposizione<\/strong>: 15! \/ (15-3)! = 2730 modi diversi.<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">La differenza \u00e8 sostanziale: 455 possibilit\u00e0 se l&#8217;ordine non conta, 2730 se conta. Questo \u00e8 il motivo per cui \u00e8 essenziale capire prima di tutto <em>se l&#8217;ordine \u00e8 rilevante<\/em> nel problema che stiamo affrontando.<\/p>\n\n\n\n<p class=\"has-light-gray-background-color has-background wp-block-paragraph\"><strong>Errore comune<\/strong><br>Molti studenti \u2014 e non solo \u2014 confondono permutazioni e combinazioni. Il criterio pi\u00f9 semplice per distinguerle \u00e8 chiedersi: <em>se scambio l&#8217;ordine degli elementi, ottengo un risultato diverso?<\/em><br><br>Se s\u00ec, l&#8217;ordine conta: stiamo lavorando con permutazioni o disposizioni.<br>Se no, l&#8217;ordine non conta: siamo nel caso delle combinazioni.<br><br>Questa domanda \u00e8 tutto ci\u00f2 che serve per non sbagliare.<\/p>\n\n\n\n<h3 class=\"wp-block-heading\">Come scegliere la formula giusta<\/h3>\n\n\n\n<p class=\"has-light-gray-background-color has-background wp-block-paragraph\"><strong>Devo ordinare tutti gli elementi?<\/strong> \u2192 <strong>Permutazioni<\/strong>: n!<br>\n<strong>Devo sceglierne alcuni e l&#8217;ordine conta?<\/strong> \u2192 <strong>Disposizioni<\/strong>: n!\/(n-r)!<br>\n<strong>Devo sceglierne alcuni e l&#8217;ordine non conta?<\/strong> \u2192 <strong>Combinazioni<\/strong>: C(n,k)<br><br>\nCon questo schema, affrontare qualsiasi problema di calcolo combinatorio diventa molto pi\u00f9 semplice: basta identificare il tipo di domanda e applicare la formula corrispondente.<\/p>\n\n\n\n<h2 class=\"wp-block-heading\">Un&#8217;applicazione: la distribuzione binomiale<\/h2>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">In un <strong><a href=\"https:\/\/www.gironi.it\/blog\/distribuzioni-di-probabilita-distribuzioni-discrete-la-binomiale\/\" target=\"_blank\" rel=\"noreferrer noopener\">post specificamente dedicato alle distribuzioni di probabilit\u00e0<\/a><\/strong> ho esaminato in dettaglio le propriet\u00e0 della <strong><a href=\"https:\/\/www.gironi.it\/blog\/distribuzioni-di-probabilita-distribuzioni-discrete-la-binomiale\/\" target=\"_blank\" rel=\"noreferrer noopener\">distribuzione binomiale<\/a><\/strong>. Rimando ovviamente al post per tutti i dettagli.<br>In questa sede vorrei per\u00f2 introdurla brevemente in maniera diretta e pratica, al solo scopo di rispondere a quesiti del tipo:<\/p>\n\n\n\n<ul class=\"wp-block-list\">\n<li>Qual \u00e8 la probabilit\u00e0 che in 10 lanci di una moneta esca testa 5 volte o meno?<\/li>\n\n\n\n<li>Se in 20 domande a risposta multipla (ogni domanda ha 4 scelte) rispondiamo totalmente a caso, qual \u00e8 la probabilit\u00e0 di rispondere correttamente a 15 o pi\u00f9?<\/li>\n\n\n\n<li>In 100 estrazioni con reinserimento da un&#8217;urna con 10 palline bianche e 90 nere, qual \u00e8 la probabilit\u00e0 di estrarne meno di 20 bianche?<\/li>\n<\/ul>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Prendiamo il primo quesito. Vogliamo sapere la probabilit\u00e0 che in 10 lanci di una moneta esca testa 5 volte o meno.<br>Procedendo per logica, dovremmo calcolare la somma delle probabilit\u00e0 binomiali per k = 0, 1, 2, 3, 4 e 5. Cio\u00e8:<\/p>\n\n\n\n<pre class=\"wp-block-code\"><code>P(X &lt;= 5) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) + P(X = 3) + P(X = 4) + P(X = 5)<\/code><\/pre>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Usando la formula della probabilit\u00e0 binomiale e sostituendo n = 10 e p = 1\/2, si ottiene:<\/p>\n\n\n\n<pre class=\"wp-block-code\"><code>P(X &lt;= 5) = C(10 ,0) x (1\/2)^0 x (1\/2)^10 + C(10 ,1) x (1\/2)^1 x (1\/2)^9 + \u2026 + C(10 ,5) x (1\/2)^5 x (1\/2)^5<\/code><\/pre>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Semplificando i calcoli e usando una calcolatrice si ottiene:<\/p>\n\n\n\n<pre class=\"wp-block-code\"><code>P(X &lt;= 5) = 0.0010 + 0.0098 + 0.0439 + 0.1172 + 0.2051 + 0.2461\n\nP(X &lt;= 5) = 0.623<\/code><\/pre>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Quindi la probabilit\u00e0 che in 10 lanci di una moneta esca testa al massimo cinque volte \u00e8 circa il 62%.<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Esiste un metodo pi\u00f9 semplice per arrivare al risultato corretto?<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Possiamo introdurre la <strong>funzione di ripartizione della distribuzione binomiale<\/strong>.<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">La funzione di ripartizione \u00e8 una funzione che calcola la probabilit\u00e0 che la variabile aleatoria X sia minore o uguale a un certo valore k. Si indica con F(k) e si definisce come:<\/p>\n\n\n\n<pre class=\"wp-block-code\"><code>F(k) = P(X &lt;= k) = somma delle probabilit\u00e0 binomiali per i = 0, 1, \u2026, k<\/code><\/pre>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Questa funzione pu\u00f2 essere calcolata con una formula approssimata o con una tabella precompilata. Per esempio, usando una tabella online come questa:<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\"><a href=\"https:\/\/www.statisticshowto.com\/tables\/binomial-distribution-table\/\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\">https:\/\/www.statisticshowto.com\/tables\/binomial-distribution-table\/<\/a><\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">dove si pu\u00f2 trovare il valore di F(5) per n = 10 e p = 1\/2.<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Basta cercare nella riga corrispondente a n = 10 e nella colonna corrispondente a p = 0.5 e leggere il valore in corrispondenza di k = 5. Il valore \u00e8 0.623.<\/p>\n\n\n\n<div class=\"wp-block-group has-background\" style=\"background-color:#f5f7f9;margin-top:2.5rem;margin-bottom:2.5rem;padding-top:1.5rem;padding-right:1.5rem;padding-bottom:1rem;padding-left:1.5rem\"><div class=\"wp-block-group__inner-container is-layout-constrained wp-container-core-group-is-layout-eed7543b wp-block-group-is-layout-constrained\">\n\n<figure class=\"wp-block-image size-large\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" width=\"975\" height=\"600\" src=\"https:\/\/www.gironi.it\/blog\/wp-content\/uploads\/2026\/07\/probabilita-binomiale-cumulata.png\" alt=\"La probabilit\u00e0 cumulata P(X \u2264 5) per 10 lanci di moneta \u00e8 la somma delle sei barre blu: 0,623.\" class=\"wp-image-4305\" srcset=\"https:\/\/www.gironi.it\/blog\/wp-content\/uploads\/2026\/07\/probabilita-binomiale-cumulata.png 975w, https:\/\/www.gironi.it\/blog\/wp-content\/uploads\/2026\/07\/probabilita-binomiale-cumulata-300x185.png 300w\" sizes=\"auto, (max-width: 709px) 85vw, (max-width: 909px) 67vw, (max-width: 1362px) 62vw, 840px\" \/><figcaption class=\"wp-element-caption\">La probabilit\u00e0 cumulata P(X \u2264 5) per 10 lanci di moneta \u00e8 la somma delle sei barre blu: 0,623.<\/figcaption><\/figure>\n\n<\/div><\/div>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Ovviamente, \u00e8 molto pi\u00f9 comodo usare R oppure Python, specialmente per numeri pi\u00f9 elevati.<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Calcoliamolo in R con la funzione <code>pbinom<\/code>, che restituisce la probabilit\u00e0 cumulativa di un dato numero di successi in un dato numero di prove:<\/p>\n\n\n\n<pre class=\"wp-block-code\"><code># Probabilit\u00e0 di ottenere 5 o meno teste in 10 lanci\npbinom(5, size = 10, prob = 0.5)\n# Risultato: 0.6230469<\/code><\/pre>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Lo stesso calcolo in Python si fa con la classe <code>binom<\/code> della libreria <code>scipy.stats<\/code>:<\/p>\n\n\n\n<pre class=\"wp-block-code\"><code># Importare la libreria\nfrom scipy.stats import binom\n\n# Probabilit\u00e0 di ottenere 5 o meno teste in 10 lanci\nbinom.cdf(5, n = 10, p = 0.5)\n# Risultato: 0.623046875<\/code><\/pre>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Passiamo al secondo quesito.<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Vogliamo calcolare la probabilit\u00e0 che in 20 domande a risposta multipla si risponda correttamente a 15 domande o pi\u00f9. Se assumiamo che ogni domanda abbia 4 opzioni e solo una sia corretta, allora la probabilit\u00e0 di successo \u00e8 p = 0.25. Quindi si deve calcolare:<\/p>\n\n\n\n<pre class=\"wp-block-code\"><code>P(X &gt;= 15) = P(X = 15) + P(X = 16) + P(X = 17) + P(X = 18) + P(X = 19) + P(X = 20)<\/code><\/pre>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">La formula della probabilit\u00e0 binomiale \u00e8:<\/p>\n\n\n\n\\(\nP(X = x) = {n \\choose x} p^x (1-p)^{n-x}\n\\)\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Usando la formula della probabilit\u00e0 binomiale, otteniamo:<\/p>\n\n\n\n\\( P(X \\geq 15) \\approx 3{,}8 \\times 10^{-6} \\)\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Meno di quattro possibilit\u00e0 su un milione. Calcolo la coda in R con <code>pbinom<\/code> (il primo argomento \u00e8 14, non 15: per \u00abalmeno 15\u00bb si passa il valore precedente, come abbiamo visto parlando della <a href=\"https:\/\/www.gironi.it\/blog\/distribuzioni-di-probabilita-distribuzioni-discrete-la-binomiale\/\">distribuzione binomiale<\/a>):<\/p>\n\n\n\n<pre class=\"wp-block-code\"><code>pbinom(14, size = 20, prob = 0.25, lower.tail = FALSE)\n# [1] 3.813027e-06<\/code><\/pre>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Quindi la probabilit\u00e0 \u00e8 bassissima\u2026 meglio studiare!<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Passiamo al terzo quesito.<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Vogliamo trovare la probabilit\u00e0 che in 100 estrazioni da un&#8217;urna con 10 palline bianche e 90 nere se ne estraggano meno di 20 bianche. Se assumiamo che le estrazioni siano con reinserimento, allora la probabilit\u00e0 di successo (estrarre una pallina bianca) \u00e8 p = 0.1. Quindi dobbiamo calcolare:<\/p>\n\n\n\n\\( P(X \\lt 20) = P(X \\leq 19) = \\sum_{x=0}^{19} {100 \\choose x} (0{,}1)^x (0{,}9)^{100-x} \\)\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">e otteniamo:<\/p>\n\n\n\n\\( P(X \\lt 20) \\approx 0{,}998 \\)\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Lo verifichiamo in R:<\/p>\n\n\n\n<pre class=\"wp-block-code\"><code>pbinom(19, size = 100, prob = 0.1)\n# [1] 0.9979<\/code><\/pre>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Quindi in questo caso la probabilit\u00e0 \u00e8 molto alta.<\/p>\n\n\n\n<h2 class=\"wp-block-heading\">Domande frequenti<\/h2>\n\n\n\n<h3 class=\"wp-block-heading\">Qual \u00e8 il simbolo dello spazio campionario?<\/h3>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Di solito si indica con la lettera greca \u03a9 (omega), a volte con S. Nel lancio di un dado \u03a9 = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, e il numero dei suoi elementi si scrive |\u03a9| = 6.<\/p>\n\n\n\n<h3 class=\"wp-block-heading\">Quando vale la regola \u00abcasi favorevoli su casi possibili\u00bb?<\/h3>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Solo quando tutti i risultati dello spazio campionario sono ugualmente probabili, come le facce di un dado equilibrato. Con un dado truccato, o con risultati che hanno probabilit\u00e0 diverse, la regola non vale pi\u00f9 e la probabilit\u00e0 va stimata in altro modo, ad esempio dalle frequenze osservate.<\/p>\n\n\n\n<h3 class=\"wp-block-heading\">Qual \u00e8 la differenza tra permutazioni, disposizioni e combinazioni?<\/h3>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Le permutazioni ordinano tutti gli elementi (n!); le disposizioni ne scelgono alcuni e l&#8217;ordine conta (n!\/(n\u2212r)!); le combinazioni ne scelgono alcuni e l&#8217;ordine non conta (n!\/(k!(n\u2212k)!)). Il test pi\u00f9 rapido: se scambiando l&#8217;ordine si ottiene un risultato diverso, l&#8217;ordine conta.<\/p>\n\n\n\n<h3 class=\"wp-block-heading\">Quante combinazioni ci sono di 3 elementi su 10?<\/h3>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">120: si calcola con il coefficiente binomiale C(10, 3) = 10! \/ (3! \u00d7 7!) = 120. Se l&#8217;ordine contasse (disposizioni) sarebbero 10 \u00d7 9 \u00d7 8 = 720.<\/p>\n\n\n\n<h3 class=\"wp-block-heading\">Che cosa sono gli eventi incompatibili?<\/h3>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Sono eventi che non possono verificarsi insieme, come \u00abesce 3\u00bb ed \u00abesce 5\u00bb nello stesso lancio di un dado. Per eventi incompatibili la probabilit\u00e0 che si verifichi l&#8217;uno o l&#8217;altro \u00e8 la somma delle singole probabilit\u00e0: 1\/6 + 1\/6 = 1\/3.<\/p>\n\n\n\n<h3 class=\"wp-block-heading\">Come si calcolano permutazioni e combinazioni in R?<\/h3>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Il fattoriale si calcola con factorial(n) e il coefficiente binomiale con choose(n, k): choose(10, 3) restituisce 120. Le disposizioni si ottengono come factorial(n) \/ factorial(n &#8211; r).<\/p>\n\n\n\n<script type=\"application\/ld+json\">{\"@context\": \"https:\/\/schema.org\", \"@type\": \"FAQPage\", \"mainEntity\": [{\"@type\": \"Question\", \"name\": \"Qual \u00e8 il simbolo dello spazio campionario?\", \"acceptedAnswer\": {\"@type\": \"Answer\", \"text\": \"Di solito si indica con la lettera greca \u03a9 (omega), a volte con S. 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Nel <a href=\"https:\/\/www.gironi.it\/blog\/distribuzioni-di-probabilita-distribuzioni-discrete-la-binomiale\/\">prossimo articolo sulla distribuzione binomiale<\/a> approfondiamo proprio questa funzione di distribuzione, vedendo come calcolarla e quando applicarla \u2014 e scopriremo che non \u00e8 affatto cos\u00ec complessa come potrebbe sembrare a prima vista.<\/p>\n\n\n\n<h3 class=\"wp-block-heading\">Potrebbe interessarti anche<\/h3>\n\n\n\n<ul class=\"wp-block-list\">\n<li><a href=\"https:\/\/www.gironi.it\/blog\/statistica-bayesiana\/\">Statistica bayesiana: come imparare dai dati, un passo alla volta<\/a><\/li>\n<\/ul>\n\n\n\n<hr class=\"wp-block-separator has-alpha-channel-opacity\" \/>\n\n\n\n<h3 class=\"wp-block-heading\">Per approfondire<\/h3>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Per consolidare le basi del ragionamento probabilistico consiglio due letture complementari: <a href=\"https:\/\/www.amazon.it\/dp\/8806246623?tag=consulenzeinf-21&amp;ascsubtag=probabilita-permutazioni-e-combinazioni\" rel=\"nofollow sponsored noopener\" target=\"_blank\"><em>L&#8217;arte della statistica<\/em><\/a> di David Spiegelhalter per l&#8217;inquadramento concettuale, e <a href=\"https:\/\/www.amazon.it\/dp\/8867319396?tag=consulenzeinf-21&amp;ascsubtag=probabilita-permutazioni-e-combinazioni\" rel=\"nofollow sponsored noopener\" target=\"_blank\"><em>Finalmente ho capito la statistica<\/em><\/a> di Maurizio De Pra per chi preferisce un percorso graduale e ricco di esempi.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Quante probabilit\u00e0 ci sono che una pagina vada in prima pagina? 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