{"id":2429,"date":"2022-01-05T11:47:25","date_gmt":"2022-01-05T10:47:25","guid":{"rendered":"https:\/\/www.gironi.it\/blog\/?p=2429"},"modified":"2026-02-25T09:22:37","modified_gmt":"2026-02-25T08:22:37","slug":"la-distribuzione-beta-spiegata-semplice","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/www.gironi.it\/blog\/la-distribuzione-beta-spiegata-semplice\/","title":{"rendered":"La Distribuzione Beta spiegata semplice"},"content":{"rendered":"\n

La distribuzione Beta \u00e8 una distribuzione di probabilit\u00e0 molto importante nell’ambito della statistica bayesiana<\/a>. <\/p>\n\n\n\n

Nei problemi teorici riguardo al calcolo delle probabilit\u00e0, conosciamo il valore esatto della probabilit\u00e0 di un singolo evento, ed \u00e8 dunque relativamente agevole applicare le regole di base del calcolo probabilistico per giungere al risultato cercato. <\/p>\n\n\n\n

Nella vita reale, tuttavia, \u00e8 assai pi\u00f9 comune avere a che fare con raccolte di osservazioni, ed \u00e8 a partire da quei dati che dobbiamo ricavare stime di probabilit\u00e0<\/strong>. <\/p>\n\n\n\n\n\n\n\n

Detto pi\u00f9 chiaramente: nella vita non abbiamo quasi mai a disposizione il valore esatto di probabilit\u00e0 di un evento: abbiamo piuttosto dati e osservazioni.
Ricavare le probabilit\u00e0 a partire da dati osservati \u00e8 ci\u00f2 che chiamiamo inferenza statistica<\/strong>.<\/p>\n\n\n\n

Beta \u00e8 una distribuzione di valori continui<\/strong>, e in questo \u00e8 differente dalla binomiale<\/strong><\/a>, che come abbiamo visto presenta valori discreti. <\/p>\n\n\n\n

La definiamo tramite una funzione di densit\u00e0 di probabilit\u00e0<\/strong> (PDF<\/strong>): (no, non \u00e8 il noto formato ideato da Adobe…<\/em>) <\/p>\n\n\n\n\\(\nBeta(p;\\alpha,\\beta)=\\frac{p^{\\alpha-1} \\times (1-p)^{\\beta-1}}{beta(\\alpha;\\beta)} \\\\\\\n\\)\n\n\n\n

dove <\/p>\n\n\n\n

p<\/em> = \u00e8 la probabilit\u00e0 di un evento
\u03b1 = quante volte osserviamo l’evento di nostro interesse
\u03b2 = quante volte l’elemento di interesse NON accade
e ovviamente:
\u03b1 + \u03b2 = numero di tentativi<\/p>\n\n\n\n

la funzione beta (non il valore \u03b2) al denominatore serve a normalizzare il risultato<\/strong> (che sar\u00e0 compreso dunque tra 0 e 1).
Si ricava attraverso l’integrazione numerica, dal momento che la distribuzione \u00e8 continua.<\/p>\n\n\n\n

La distribuzione Beta \u00e8 una distribuzione di probabilit\u00e0 sulle probabilit\u00e0<\/strong>, e dal momento che modella una probabilit\u00e0, il suo dominio \u00e8 limitato tra 0 e 1 . <\/p>\n\n\n\n

\"Immagine<\/figure><\/div>\n\n\n\n

Facciamo un esempio pratico sulla distribuzione beta, usando R<\/h2>\n\n\n\n

Immaginiamo che l’organizzatore di un gioco online affermi che almeno 1 giocatore ogni 10 vinca un premio. Abbiamo a disposizione i dati, e sappiamo che tra gli ultimi 800 giocatori, ci sono stati 65 vincitori. <\/p>\n\n\n\n

La domanda che ci poniamo \u00e8: l’organizzatore del gioco afferma il vero in base ai dati in nostro possesso? Basandoci sul nostro campione possiamo ritenere che un giocatore abbia almeno il 10% di probabilit\u00e0 di vincere un premio acquistando un biglietto?<\/p>\n\n\n\n

La soluzione al nostro quesito \u00e8 facilmente ricavabile usando la funzione beta con i dati in nostro possesso:<\/p>\n\n\n\n

Usiamo infatti la distribuzione beta cumulativa :
\u03b2 (.1, 65, 735, TRUE) <\/p>\n\n\n\n

In R basta una riga per trovare la parte della nostra funzione che si trova tra 0.1 e 1, cio\u00e8 che mostra le probabilit\u00e0 superiori al 10% di vincere un premio acquistando un biglietto:<\/p>\n\n\n\n

integrate(function(x) dbeta(x,65,735),0.1,1)\n\n0.03170546 with absolute error < 2.3e-06<\/pre>\n\n\n\n
           <\/p>\n\n\n\n
La risposta \u00e8 davanti ai nostri occhi. La probabilit\u00e0 di avere almeno il 10% di successo \u00e8 appena del 3,17%. Ci\u00f2 che afferma l’organizzatore del gioco, alla luce dei dati, \u00e8 falso.<\/p>\n\n\n\n
Risorse online autorevoli per approfondire<\/h2>\n\n\n\n