{"id":2342,"date":"2021-10-03T22:01:16","date_gmt":"2021-10-03T21:01:16","guid":{"rendered":"https:\/\/www.gironi.it\/blog\/?p=2342"},"modified":"2026-02-25T09:22:55","modified_gmt":"2026-02-25T08:22:55","slug":"lanalisi-della-varianza-anova-spiegata-semplice","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/www.gironi.it\/blog\/lanalisi-della-varianza-anova-spiegata-semplice\/","title":{"rendered":"L&#8217;analisi della varianza, Anova. Spiegata semplice"},"content":{"rendered":"\n<p>L&#8217;analisi della varianza (ANOVA) \u00e8 un <a href=\"https:\/\/www.gironi.it\/blog\/test-statistici-parametrici-e-non-parametrici\/\" data-type=\"post\" data-id=\"2306\">test parametrico<\/a> che valuta le differenze tra le medie di due o pi\u00f9 gruppi di dati. <br>Si tratta di un test di ipotesi statistica che trova ampio impiego nell&#8217;ambito della ricerca scientifica e che consente di determinare se le medie di almeno due popolazioni sono diverse. <br>Sono necessari come presupposto minimo una <strong>variabile dipendente continua<\/strong> e una <strong>variabile indipendente categoriale<\/strong> che divida i dati in gruppi di confronto.<\/p>\n\n\n\n<!--more-->\n\n\n\n<p>Il termine &#8220;analisi della varianza&#8221; deriva dal modo in cui l&#8217;analisi utilizza le varianze per determinare se le medie sono diverse. <\/p>\n\n\n\n<p>ANOVA funziona confrontando la varianza delle medie tra i gruppi (\u00e8 chiamata varianza <em>between<\/em>) con la varianza all&#8217;interno dei singoli gruppi (o varianza <em>within<\/em>). <\/p>\n\n\n\n<p>L&#8217;analisi della varianza \u00e8 stata sviluppata dal grande statistico <a href=\"https:\/\/it.wikipedia.org\/wiki\/Ronald_Fisher\" target=\"_blank\" rel=\"noreferrer noopener\">Ronald Fisher<\/a> (diciamo che \u00e8 uno degli Dei nell&#8217;Olimpo della statistica&#8230;).<br>Non \u00e8 un caso che Anova si basi su una distribuzione chiamata distribuzione F.<\/p>\n\n\n\n<div class=\"wp-block-image is-style-rounded\"><figure class=\"aligncenter size-large\"><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/upload.wikimedia.org\/wikipedia\/commons\/a\/aa\/Youngronaldfisher2.JPG\" alt=\"\"><figcaption>Ronald Fisher in una foto giovanile <br>(da Wikipedia)<\/figcaption><\/figure><\/div>\n\n\n\t\t\t\t<div class=\"wp-block-uagb-table-of-contents uagb-toc__align-left uagb-toc__columns-1  uagb-block-9d46178e      \"\n\t\t\t\t\tdata-scroll= \"1\"\n\t\t\t\t\tdata-offset= \"30\"\n\t\t\t\t\tstyle=\"\"\n\t\t\t\t>\n\t\t\t\t<div class=\"uagb-toc__wrap\">\n\t\t\t\t\t\t<div class=\"uagb-toc__title\">\n\t\t\t\t\t\t\tDi cosa parleremo<br>\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t<div class=\"uagb-toc__list-wrap \">\n\t\t\t\t\t\t<ol class=\"uagb-toc__list\"><li class=\"uagb-toc__list\"><a href=\"#anova-un-test-di-tipo-parametrico\" class=\"uagb-toc-link__trigger\">Anova: un test di tipo parametrico<\/a><li class=\"uagb-toc__list\"><a href=\"#perch\u00e8-anova-e-non-una-serie-di-t-test\" class=\"uagb-toc-link__trigger\">Perch\u00e8 Anova e non una serie di t-test?<\/a><li class=\"uagb-toc__list\"><a href=\"#il-caso-pi\u00f9-semplice-anova-a-una-via\" class=\"uagb-toc-link__trigger\">Il caso pi\u00f9 semplice: Anova a una via<\/a><li class=\"uagb-toc__list\"><a href=\"#il-modo-classico-e-un-po-tedioso-di-svolgere-un-test-anova-la-tabella-anova\" class=\"uagb-toc-link__trigger\">Il modo &quot;classico&quot; (e un po&#039; tedioso) di svolgere un test Anova: la tabella Anova<\/a><li class=\"uagb-toc__list\"><a href=\"#quanta-fatica-e-ora-di-sfruttare-tutta-la-potenza-di-r\" class=\"uagb-toc-link__trigger\">Quanta fatica&#8230; E&#039; ora di sfruttare tutta la potenza di R<\/a><ul class=\"uagb-toc__list\"><li class=\"uagb-toc__list\"><a href=\"#potrebbe-interessarti-anche\" class=\"uagb-toc-link__trigger\">Potrebbe interessarti anche<\/a><\/ul><\/ol>\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\n\n\n<h2 class=\"wp-block-heading\">Anova: un test di tipo parametrico<\/h2>\n\n\n\n<p>Anova \u00e8 un test di tipo <a href=\"https:\/\/www.gironi.it\/blog\/test-statistici-parametrici-e-non-parametrici\/\" data-type=\"post\" data-id=\"2306\">parametrico<\/a>. Richiede dunque che siano soddisfatti un certo numero di requisiti:<\/p>\n\n\n\n<ul class=\"wp-block-list\"><li>Normalit\u00e0. I dati nei gruppi devono seguire una distribuzione normale.<\/li><li>Omogeneit\u00e0 delle varianze: i gruppi dovrebbero avere varianze approssimativamente uguali.<\/li><li>I residui seguono le assunzioni di minimi quadrati.<\/li><li>C&#8217;\u00e8 almeno una variabile indipendente di tipo categorico (fattore).<\/li><li>La variabile dipendente \u00e8 continua.<\/li><li>Le osservazioni sono indipendenti.<\/li><\/ul>\n\n\n\n<h2 class=\"wp-block-heading\">Perch\u00e8 Anova e non una serie di t-test?<\/h2>\n\n\n\n<p>Una domanda che \u00e8 lecito porsi \u00e8 la seguente: perch\u00e8 mai dovrei usare Anova quando posso usare una serie di confronti tra ogni gruppo e ognuno degli altri?<br>La risposta non \u00e8 legata semplicemente alla noia e alla difficolt\u00e0 nel dover svolgere un gran numero di test (ad esempio, per 4 fattori avrei bisogno di svolgere 6 differenti t-test). Il maggiore problema \u00e8 che la probabilit\u00e0 di commettere un <a href=\"https:\/\/www.gironi.it\/blog\/il-test-delle-ipotesi\/#errori-di-i-e-ii-tipo\" target=\"_blank\" rel=\"noreferrer noopener\">errore di Tipo I<\/a> aumenta con una progressione di tipo esponenziale. Sappiamo che se scegliamo un alpha &#8220;tipico&#8221; di 0,05 fissiamo la probabilit\u00e0 di incorrere in un errore di Tipo I del 5%.<br>Se chiamiamo n il numero dei t-test da svolgere avremo una probabilit\u00e0 complessiva di commettere errori di Tipo I pari a:<br> <\/p>\n\n\n\n\\(\n1-(1-\\alpha)^n \\\\\n\\)\n\n\n\n<p>nel nostro esempio questo significa:<\/p>\n\n\n\n\\(\n1-(1-0,05)^6 = \\\\\n1-0,735 = \\\\\n0,265 \\\\ \\\\\n\\)\n\n\n\n<p>Vale a dire una probabilit\u00e0 di errore di Tipo I del 26,5% ! Chiaramente inaccettabile&#8230; <strong>Quando vogliamo testare la media di 3 o pi\u00f9 gruppi, Anova \u00e8 certamente da preferire rispetto a una serie di T-test<\/strong>.<\/p>\n\n\n\n<h2 class=\"wp-block-heading\">Il caso pi\u00f9 semplice: Anova a una via<\/h2>\n\n\n\n<p>Il tipo pi\u00f9 semplice di test ANOVA \u00e8 l&#8217;ANOVA a un fattore. Questo metodo \u00e8 una generalizzazione dei<a href=\"https:\/\/www.gironi.it\/blog\/la-distribuzione-t-e-il-test-delle-ipotesi\/\" data-type=\"post\" data-id=\"1131\"> t-test<\/a> in grado di valutare la differenza tra pi\u00f9 di due medie di gruppo.<br>I dati sono organizzati in vari gruppi sulla base di una singola variabile categorica (chiamata variabile <em>fattore<\/em>).<\/p>\n\n\n\n<p>Come abbiamo detto, Anova \u00e8 un <a href=\"https:\/\/www.gironi.it\/blog\/il-test-delle-ipotesi\/\" data-type=\"post\" data-id=\"1190\">test delle ipotesi<\/a>. In questo caso, abbiamo una <strong>ipotesi nulla<\/strong> H<sub>0<\/sub>:<br><em>le medie tra i diversi gruppi sono uguali<\/em><br>e una <strong>ipotesi alternativa<\/strong> H<sub>a<\/sub>:<br><em>almeno una media \u00e8 diversa<\/em>.<\/p>\n\n\n\n<p class=\"has-light-gray-background-color has-background\">ATTENZIONE: Anova ci dice SE una media \u00e8 diversa, non QUALE gruppo presenta una media differente. Per quello, avremo bisogno di un passaggio supplementare, il test <em>post hoc<\/em>, che vedremo a tempo debito.<\/p>\n\n\n\n<h2 class=\"wp-block-heading\">Il modo &#8220;classico&#8221; (e un po&#8217; tedioso) di svolgere un test Anova: la tabella Anova<\/h2>\n\n\n\n<p>E&#8217; vero che utilizzare il modo &#8220;classico&#8221; di computare il risultato di un test Anova pu\u00f2 fornire nozioni teoriche importanti, ma \u00e8 altres\u00ec vero che chiunque utilizzi questa tipologia di test nella quotidianit\u00e0 difficilmente &#8211; per non dire mai &#8211; usa carta e penna e compila una tabella Anova&#8230; La praticit\u00e0 delle funzioni di R nel svolgere tutto il &#8220;lavoro duro&#8221; con un clic \u00e8 davvero impagabile. Tuttavia, un esempio passo-passo ci fornir\u00e0 una importante infarinatura. Siamo pronti a &#8220;sporcarci le mani&#8221;? <\/p>\n\n\n\n<p>I passaggi che compiremo possono essere schematizzati cos\u00ec:<\/p>\n\n\n\n<ul class=\"wp-block-list\"><li>Calcoleremo la varianza comune, chiamata varianza nei campioni\u00a0<em>S<\/em><sup>2<\/sup><em><sub>within<\/sub><\/em>, o\u00a0varianza residuale.<\/li><li>Calcoleremo la varianza tra le medie dei campioni, quindi:<br>La media di ogni gruppo<br>La varianza tra le medie dei campioni<strong> <\/strong>(<em>S<\/em><sup>2<\/sup><em><sub>between<\/sub><\/em>)<\/li><li>E poi ricaveremo la statistica F come rapporto tra <em>S<\/em><sup>2<\/sup><em><sub>between<\/sub><\/em>\/<em>S<\/em><sup>2<\/sup><em><sub>within<\/sub><\/em><\/li><\/ul>\n\n\n\n<p>Dal momento che la SEO \u00e8 uno dei campi che seguo con maggiore interesse, ipotizzo un esempio (ovviamente privo di reale valore) che ha per oggetto l&#8217;analisi dei dati di traffico di un sito web.<\/p>\n\n\n\n<p>La mia variabile indipendente a pi\u00f9 fattori \u00e8 il tipo di dispositivo usato dai navigatori: desktop, mobile, tablet.<\/p>\n\n\n\n<p>La mia variabile dipendente saranno gli obiettivi realizzati sul sito.<\/p>\n\n\n\n<p>Immaginiamo di seguire i dati mensili per 6 mesi e di ricavare queste misure:<\/p>\n\n\n\n<figure class=\"wp-block-table is-style-regular\"><table><tbody><tr><td>Desktop<\/td><td>Mobile<\/td><td>Tablet<\/td><\/tr><tr><td>39<\/td><td>45<\/td><td>30<\/td><\/tr><tr><td>67<\/td><td>54<\/td><td>45<\/td><\/tr><tr><td>78<\/td><td>64<\/td><td>22<\/td><\/tr><tr><td>59<\/td><td>52<\/td><td>39<\/td><\/tr><tr><td>42<\/td><td>46<\/td><td>38<\/td><\/tr><tr><td>51<\/td><td>35<\/td><td>41<\/td><\/tr><\/tbody><\/table><figcaption>Obiettivi per device<\/figcaption><\/figure>\n\n\n\n<p>Vado a calcolare la media dei valori per il gruppo Desktop: <br>(39+67+78+59+42+51)\/6 = 56<\/p>\n\n\n\n<p>Calcolo la media per Mobile:<br>(45+54+64+52+46+35)\/6 = 49,3<\/p>\n\n\n\n<p>E quella per i Tablet:<br>(30+45+22+39+38+41)\/6 =  35,83<\/p>\n\n\n\n<p>Passiamo a calcolare le somme dei quadrati:<\/p>\n\n\n\n<figure class=\"wp-block-table\"><table><tbody><tr><td class=\"has-text-align-left\" data-align=\"left\"><strong>Desktop<\/strong><\/td><td><strong>Mobile<\/strong><\/td><td><strong>Tablet<\/strong><\/td><\/tr><tr><td class=\"has-text-align-left\" data-align=\"left\">(39-56)<sup>2<\/sup> = 289<\/td><td>(45-49,3)<sup>2<\/sup> = 18,49<\/td><td><meta http-equiv=\"content-type\" content=\"text\/html; charset=utf-8\">(30-35.83)<sup>2<\/sup> = 33.99<\/td><\/tr><tr><td class=\"has-text-align-left\" data-align=\"left\"><meta http-equiv=\"content-type\" content=\"text\/html; charset=utf-8\">(67-56)<sup>2<\/sup> = 121<\/td><td><meta http-equiv=\"content-type\" content=\"text\/html; charset=utf-8\">(54-49,3)<sup>2<\/sup> = 22.09<\/td><td><meta http-equiv=\"content-type\" content=\"text\/html; charset=utf-8\">(45-35.83)<sup>2<\/sup> = 84.09<\/td><\/tr><tr><td class=\"has-text-align-left\" data-align=\"left\"><meta http-equiv=\"content-type\" content=\"text\/html; charset=utf-8\">(78-56)<sup>2<\/sup> = 484<\/td><td><meta http-equiv=\"content-type\" content=\"text\/html; charset=utf-8\">(64-49,3)<sup>2<\/sup> = 216.09<\/td><td><meta http-equiv=\"content-type\" content=\"text\/html; charset=utf-8\">(22-35.83)<sup>2<\/sup> = 191.27<\/td><\/tr><tr><td class=\"has-text-align-left\" data-align=\"left\"><meta http-equiv=\"content-type\" content=\"text\/html; charset=utf-8\">(59-56)<sup>2<\/sup> = 9<\/td><td><meta http-equiv=\"content-type\" content=\"text\/html; charset=utf-8\">(52-49,3)<sup>2<\/sup> = 7.29<\/td><td><meta http-equiv=\"content-type\" content=\"text\/html; charset=utf-8\">(39-35.83)<sup>2<\/sup> = 10.05<\/td><\/tr><tr><td class=\"has-text-align-left\" data-align=\"left\"><meta http-equiv=\"content-type\" content=\"text\/html; charset=utf-8\">(42-56)<sup>2<\/sup> = 196<\/td><td><meta http-equiv=\"content-type\" content=\"text\/html; charset=utf-8\">(46-49,3)<sup>2<\/sup> = 10.89<\/td><td><meta http-equiv=\"content-type\" content=\"text\/html; charset=utf-8\">(38-35.83)<sup>2<\/sup> = 4.71<\/td><\/tr><tr><td class=\"has-text-align-left\" data-align=\"left\"><meta http-equiv=\"content-type\" content=\"text\/html; charset=utf-8\">(51-56)<sup>2<\/sup> = 25<\/td><td><meta http-equiv=\"content-type\" content=\"text\/html; charset=utf-8\">(35-49,3)<sup>2<\/sup> = 204.49<\/td><td><meta http-equiv=\"content-type\" content=\"text\/html; charset=utf-8\">(41-35.83)<sup>2<\/sup> = 26.73<\/td><\/tr><tr><td class=\"has-text-align-left\" data-align=\"left\">Totale<\/td><td>Totale<\/td><td>Totale<\/td><\/tr><tr><td class=\"has-text-align-left\" data-align=\"left\"><strong>1124<\/strong><\/td><td><strong>479.34<\/strong><\/td><td><strong>350.84<\/strong><\/td><\/tr><\/tbody><\/table><\/figure>\n\n\n\n<p>Siamo pronti per ricavare SS<sub>e<\/sub>, la somma degli errori quadratici:<br>SS<sub>e<\/sub> = 1124 + 479.34 + 350.84 = <strong>1954.18<\/strong><\/p>\n\n\n\n<p>Calcoliamo la Grande Media di tutte le osservazioni, sommando i valori del gruppo desktop,mobile e tablet e dividendoli per il numero delle osservazioni:<br>(336+296+215)\/18 = 47<\/p>\n\n\n\n<p>Procediamo nel calcolo aiutandoci con una tabella:<\/p>\n\n\n\n<figure class=\"wp-block-table is-style-regular\"><table><tbody><tr><td><\/td><td>A-Osservazioni<\/td><td>B-Grande Media<\/td><td>C-Media<\/td><td>(B-C)<sup>2<\/sup><\/td><td>A * D<\/td><\/tr><tr><td>Desktop<\/td><td>6<\/td><td>47<\/td><td>56<\/td><td>81<\/td><td>486<\/td><\/tr><tr><td>Mobile<\/td><td>6<\/td><td>47<\/td><td>49,3<\/td><td>5.29<\/td><td>31.74<\/td><\/tr><tr><td>Tablet<\/td><td>6<\/td><td>47<\/td><td>35.83<\/td><td>124.77<\/td><td>748.62<\/td><\/tr><\/tbody><\/table><\/figure>\n\n\n\n<p>E troviamo cos\u00ec la Somma dei Quadrati between:<br><br>SS<sub>b<\/sub> = 486 + 31.74 + 748.62 = <strong>1266,4<\/strong><\/p>\n\n\n\n<p>Ancora un piccolo sforzo, ma ora viene il bello!<br><br>I gradi di libert\u00e0 <em>between<\/em> df<sub>1<\/sub> sono uguali a N &#8211; 1, quindi: <br>3 &#8211; 1 = 2<br>I gradi di libert\u00e0 <em>within<\/em> df<sub>2<\/sub> sono uguali a N &#8211; K, quindi:<br>18 &#8211; 3 = 15<\/p>\n\n\n\n<p>Troviamo la Media Quadrata dell&#8217;Errore, MS<sub>e<\/sub>:<\/p>\n\n\n\n\\(\nMS_e=\\frac{SS_e}{df_2} \\\\\n\\frac{1954.18}{15} = 130.3 \\\\ \\\\\n\\)\n\n\n\n<p>E la Media Quadrata <em>between<\/em>:<\/p>\n\n\n\n\\(\nMS_b=\\frac{SS_b}{df_1} \\\\\n\\frac{1266.4}{2}=633.18 \\\\ \\\\\n\\)\n\n\n\n<p>E&#8217; arrivato il momento: possiamo ricavare finalmente il nostro valore F!<\/p>\n\n\n\n\\(\nF=\\frac{MS_b}{MS_e} \\\\\n\\frac{633.18}{130.3}=4.86 \\\\\n\\)\n\n\n\n<p><strong>Ho finalmente trovato il valore che cercavo, F=4.86.<\/strong><br>Non mi resta che prendere in mano una <a href=\"https:\/\/www.unirc.it\/documentazione\/materiale_didattico\/600_2011_294_11517.pdf\" target=\"_blank\" rel=\"noreferrer noopener\">tabella della distribuzione F<\/a> e andare a cercare il valore critico in corrispondenza dell&#8217;incrocio tra i valori df<sub>2<\/sub>\/df<sub>1<\/sub>. <br>Quel valore risulta essere pari a 3.68.<\/p>\n\n\n\n<p><strong>Il mio valore F=4.86 cade nella zona di rigetto dell&#8217;ipotesi nulla H<sub>0<\/sub> <br>Il mio test, per un valore alpha di 0.05, mi indica che le medie dei tre gruppi non sono uguali.<\/strong><\/p>\n\n\n\n<h2 class=\"wp-block-heading\">Quanta fatica&#8230; E&#8217; ora di sfruttare tutta la potenza di R<\/h2>\n\n\n\n<p>I valori d&#8217;esempio sono contenuti in <a href=\"https:\/\/www.gironi.it\/blog\/wp-content\/uploads\/2021\/10\/anova-ex1.csv\">questo file csv<\/a>.<\/p>\n\n\n\n<p>Ipotizzando di avere il nostro file csv nella home, posso creare uno script R in Rstudio e  caricare il mio semplicissimo dataset:<\/p>\n\n\n\n<pre class=\"wp-block-preformatted\">obiettivianova &lt;- read.csv(\"~\/anova-ex1.csv\")<\/pre>\n\n\n\n<p>Uno sguardo grafico a come si presentano i valori per i tre gruppi:<\/p>\n\n\n\n<pre class=\"wp-block-preformatted\">boxplot(obiettivianova$obiettivi ~ obiettivianova$device, main=\"Boxplot obiettivi per device\", xlab=\"Device\", ylab=\"Obiettivi\")<\/pre>\n\n\n\n<figure class=\"wp-block-image size-full\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" width=\"855\" height=\"540\" src=\"https:\/\/www.gironi.it\/blog\/wp-content\/uploads\/2021\/10\/boxplot-ex1.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-2376\" srcset=\"https:\/\/www.gironi.it\/blog\/wp-content\/uploads\/2021\/10\/boxplot-ex1.png 855w, https:\/\/www.gironi.it\/blog\/wp-content\/uploads\/2021\/10\/boxplot-ex1-300x189.png 300w\" sizes=\"auto, (max-width: 709px) 85vw, (max-width: 909px) 67vw, (max-width: 1362px) 62vw, 840px\" \/><\/figure>\n\n\n\n<p>Gi\u00e0 il boxplot sembra suggerirci qualcosa, ma ovviamente procediamo analiticamente.<\/p>\n\n\n\n<p>Diamo uno sguardo alle medie:<\/p>\n\n\n\n<pre class=\"wp-block-preformatted\">aggregate(obiettivi ~ device,obiettivianova,mean)<\/pre>\n\n\n\n<pre class=\"wp-block-preformatted\">   device obiettivi\n1 desktop  56.00000\n2  mobile  49.33333\n3  tablet  35.83333<\/pre>\n\n\n\n<p>e procediamo con il nostro test:<\/p>\n\n\n\n<pre class=\"wp-block-preformatted\">miomodello &lt;- aov(obiettivianova$obiettivi ~ obiettivianova$device)\n\nsummary(miomodello)<\/pre>\n\n\n\n<p>l&#8217;output che otteniamo \u00e8 il seguente:<\/p>\n\n\n\n<pre class=\"wp-block-preformatted has-small-font-size\">                      Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(&gt;F)  \nobiettivianova$device  2   1267   633.4   4.862 0.0236 *\nResiduals             15   1954   130.3                 \n---\nSignif. codes:  0 \u2018***\u2019 0.001 \u2018**\u2019 0.01 \u2018*\u2019 0.05 \u2018.\u2019 0.1 \u2018 \u2019 1<\/pre>\n\n\n\n<p>La potenza di R qui \u00e8 evidente. Bastano pochi attimi per avere un sacco di informazioni utili. Il valore di F \u00e8 4,862, i gradi di libert\u00e0 sono 2, ecc.ecc.<br>Non serve consultare la tabella della distribuzione F  (o usare il comando R corrispondente) perch\u00e8 gi\u00e0 \u00e8 presente il p-value, che segnala il rigetto dell&#8217;ipotesi nulla al livello del 5% (p= 0.0236 &lt; 0,05).<\/p>\n\n\n\n<p>Anova ci dice che le medie non sono tutte uguali. E&#8217; giunto il momento di un test post-hoc per poter valutare dove si trova &#8220;l&#8217;anomalia&#8221;:<\/p>\n\n\n\n<pre class=\"wp-block-preformatted\">TukeyHSD(miomodello)<\/pre>\n\n\n\n<p>Il Test HSD di Tukey \u00e8 uno dei test post hoc pi\u00f9 utili in casi come quello in esame. Ci restituisce questo output:<\/p>\n\n\n\n<pre class=\"wp-block-preformatted has-small-font-size\">                     diff       lwr       upr     p adj\nmobile-desktop  -6.666667 -23.78357 10.450234 0.5810821\ntablet-desktop -20.166667 -37.28357 -3.049766 0.0204197\ntablet-mobile  -13.500000 -30.61690  3.616900 0.1348303\n<\/pre>\n\n\n\n<p>Come si pu\u00f2 notare, mentre per il confronto tra le medie mobile-desktop e tablet-mobile non possiamo scartare l&#8217;ipotesi nulla, lo stesso non si pu\u00f2 dire nel caso delle medie tablet-desktop, dove la differenza risulta statisticamente significativa. <\/p>\n\n\n<!-- internal-links-section -->\n<h3>Potrebbe interessarti anche<\/h3>\n<ul>\n<li><a href=\"https:\/\/www.gironi.it\/blog\/ab-testing\/\">A\/B Testing: come condurre esperimenti statisticamente validi (e gli errori da evitare)<\/a><\/li>\n<\/ul>","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>L&#8217;analisi della varianza (ANOVA) \u00e8 un test parametrico che valuta le differenze tra le medie di due o pi\u00f9 gruppi di dati. 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