{"id":1411,"date":"2019-12-03T18:34:16","date_gmt":"2019-12-03T17:34:16","guid":{"rendered":"https:\/\/www.gironi.it\/blog\/?p=1411"},"modified":"2026-02-25T09:22:34","modified_gmt":"2026-02-25T08:22:34","slug":"il-t-test-per-due-campioni-testare-una-ipotesi-per-campioni-dipendenti-o-indipendenti","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/www.gironi.it\/blog\/il-t-test-per-due-campioni-testare-una-ipotesi-per-campioni-dipendenti-o-indipendenti\/","title":{"rendered":"Il t test per due campioni. Come testare una ipotesi per campioni dipendenti o indipendenti"},"content":{"rendered":"\n<p>In un <a href=\"https:\/\/www.gironi.it\/blog\/la-distribuzione-t-e-il-test-delle-ipotesi\/\" target=\"_blank\" rel=\"noreferrer noopener\">precedente post<\/a> abbiamo parlato del test delle ipotesi per quanto riguarda una singola misura: la media del campione.<\/p>\n\n\n\n<p>Ci sono per\u00f2 numerose situazioni nelle quali si rende necessario fare dell&#8217;analisi statistica che riguarda due campioni. Si pensi, a mo&#8217; d&#8217;esempio, al caso in cui si voglia studiare la differenza tra uomini  e donne rispetto ai risultati di un dato esame.<\/p>\n\n\n\n<!--more-->\n\n\n\t\t\t\t<div class=\"wp-block-uagb-table-of-contents uagb-toc__align-left uagb-toc__columns-1  uagb-block-5439fb09 wp-block-uagb-table-of-contents uagb-toc__align-left uagb-toc__columns-undefined uagb-block-a1ccdc27     \"\n\t\t\t\t\tdata-scroll= \"1\"\n\t\t\t\t\tdata-offset= \"30\"\n\t\t\t\t\tstyle=\"\"\n\t\t\t\t>\n\t\t\t\t<div class=\"uagb-toc__wrap\">\n\t\t\t\t\t\t<div class=\"uagb-toc__title\">\n\t\t\t\t\t\t\tDi cosa parleremo\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t<div class=\"uagb-toc__list-wrap \">\n\t\t\t\t\t\t<ol class=\"uagb-toc__list\"><li class=\"uagb-toc__list\"><a href=\"#il-test-delle-ipotesi-per-campioni-indipendenti\" class=\"uagb-toc-link__trigger\">Il test delle ipotesi per campioni indipendenti<\/a><li class=\"uagb-toc__list\"><a href=\"#t-test-per-dati-appaiati-il-test-delle-ipotesi-per-campioni-dipendenti\" class=\"uagb-toc-link__trigger\">T-test per dati appaiati: il test delle ipotesi per campioni dipendenti.<\/a><li class=\"uagb-toc__list\"><a href=\"#e-arrivato-il-momento-di-un-esempio\" class=\"uagb-toc-link__trigger\">E&#039; arrivato il momento di un esempio<\/a><li class=\"uagb-toc__list\"><a href=\"#potrebbe-interessarti-anche\" class=\"uagb-toc-link__trigger\">Potrebbe interessarti anche<\/a><\/ol>\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\n\n\n<hr class=\"wp-block-separator has-css-opacity\"\/>\n\n\n\n<p>Possiamo testare una ipotesi riguardante due campioni <strong>indipendenti<\/strong> (nel qual caso i campioni non si influenzano reciprocamente) oppure due campioni <strong>dipendenti<\/strong>, laddove i campioni sono interrelati.<\/p>\n\n\n\n<p class=\"has-light-gray-background-color has-background\">Lo scopo del t-test a due campioni \u00e8 quello di determinare quando le medie di due popolazioni sono differenti in modo significativo.<\/p>\n\n\n\n<h3 class=\"wp-block-heading\">Il test delle ipotesi per campioni indipendenti<\/h3>\n\n\n\n<p>Quando testiamo una ipotesi riguardo due campioni indipendenti, in realt\u00e0 seguiamo un processo molto simile a quello gi\u00e0 visto allorch\u00e8 viene testato un campione casuale. Tuttavia, quando computiamo la statistica del test, dobbiamo calcolare l&#8217;<strong>Errore Standard stimato della differenza delle medie  del campione<\/strong>.<\/p>\n\n\n\n<p>Perch\u00e8 il test relativo a campioni indipendenti sia valido, occorre che siano rispettate delle precise condizioni:<\/p>\n\n\n\n<ul class=\"wp-block-list\">\n<li>Viene usato un campione casuale per ognuna delle popolazioni;<\/li>\n\n\n\n<li>I campioni casuali sono composti ciascuno da osservazioni indipendenti;<\/li>\n\n\n\n<li>Ogni campione \u00e8 indipendente da ogni altro;<\/li>\n\n\n\n<li>La distribuzione della popolazione di ogni popolazione deve essere grosso modo normale, oppure la dimensione del campione deve essere sufficientemente ampia.<\/li>\n<\/ul>\n\n\n\n<p>Consideriamo le ipotesi per il nostro t-test:<\/p>\n\n\n\nH<sub>0<\/sub> : \u03bc<sub>1<\/sub> = \u03bc<sub>2<\/sub>\n<br>\nH<sub>a<\/sub> : \u03bc<sub>1<\/sub> \u2260 \u03bc<sub>2<\/sub>\n<br><br>\n\n\n\n<p>Si faccia attenzione al fatto che abbiamo due medie di popolazione, infatti testeremo il fatto che le media di due separate popolazioni siano tra loro eguali. In altri termini, avremmo anche potuto scrivere cos\u00ec:<\/p>\n\n\n\nH<sub>0<\/sub> : \u03bc<sub>1<\/sub> &#8211; \u03bc<sub>2<\/sub> = 0\n<br>\nH<sub>a<\/sub> : \u03bc<sub>1<\/sub> &#8211; \u03bc<sub>2<\/sub> \u2260 0\n<br><br>\n\n\n\n<p>E&#8217; giunto il momento di vedere come risulta la formula per determinare il valore di <em>t<\/em>:<\/p>\n\n\n\n\\(\nt=\\frac{(\\bar{x}_1-\\bar{x}_2)-(\\mu_1-\\mu_2)}{SE_(\\bar{x}_1-\\bar{x}_2)}\n\\\\\n\\)\n\n\n\n<p>dove:<\/p>\n\n\n\n\\(\n\\bar{x}_1-\\bar{x}_2 \\\\\n\\)\n\n\n\n<p>\u00e8 la differenza tra le medie del campione<\/p>\n\n\n\n\\(\n\\mu_1-\\mu_2 \\\\\n\\)\n\n\n\n<p>\u00e8 la differenza tra le medie ipotizzate della popolazione<\/p>\n\n\n\n\\(\nSE_(\\bar{x}_1-\\bar{x}_2) \\\\\n\\)\n\n\n\n<p>\u00e8 l&#8217;errore standard della differenza tra le medie del campione.<\/p>\n\n\n\n<p>L&#8217;errore standard della differenza tra le medie dei campioni \u00e8 calcolata cos\u00ec:<\/p>\n\n\n\n\\(\nSE_(\\bar{x}_1-\\bar{x}_2)=\\sqrt{\\frac{s^2_1}{n_1}+\\frac{s^2_2}{n_2}} \\\\\n\\)\n\n\n\n<p>Vi e mi risparmio la formula per la determinazione dei gradi di libert\u00e0. E&#8217; lunga e all&#8217;apparenza abbastanza &#8220;spaventosa&#8221;. In pratica, da pigro, lascer\u00f2 che sia la calcolatrice oppure R a computarne il valore, oppure, e questa \u00e8 la formuletta che mi piace, adotter\u00f2 un approccio conservativo e andr\u00f2 a usare il valore n pi\u00f9 basso tra i due gruppi meno uno:<\/p>\n\n\n\n<i>df<\/i>=n<sub>il pi\u00f9 basso<\/sub> -1\n<br><br>\n\n\n\n<p>In R il test \u00e8 di semplice esecuzione. Immaginiamo di avere i nostri dati nei due vettori &#8220;femmine&#8221; e &#8220;maschi&#8221;:<\/p>\n\n\n\n<pre class=\"wp-block-preformatted\">t.test(femmine,maschi)\nquesto nel caso di un test a 2 code\n\nt.test(femmine,maschi,alternative=\"less\")\noppure\nt.test(femmine,maschi,alternative=\"greater\")\nnel caso di test a una coda<\/pre>\n\n\n\n<h3 class=\"wp-block-heading\">T-test per dati appaiati: il test delle ipotesi per campioni dipendenti.<\/h3>\n\n\n\n<p>Il t-test per campioni dipendenti \u00e8 differente sotto molti aspetti da quello condotto su campioni indipendenti, al punto da essere anche chiamato, in maniera molto significativa, test per <strong><em>dati appaiati<\/em><\/strong>. <br>Nella pratica, in molti casi abbiamo a che fare con un tipo di test molto comune e molto utile: parliamo di <strong><em>pre-test<\/em> \/ <em>post-test<\/em><\/strong>.<\/p>\n\n\n\n<p>Quali sono le condizioni per svolgere il nostro test? Eccole:<\/p>\n\n\n\n<ul class=\"wp-block-list\">\n<li>Il campione delle differenze \u00e8 casuale;<\/li>\n\n\n\n<li>Le osservazioni appaiate sono indipendenti le une dalle altre;<\/li>\n\n\n\n<li>La distribuzione delle differenze della popolazione deve risultare grosso modo normale, oppure la grandezza del campione di osservazioni appaiate deve essere sufficientemente ampio.<\/li>\n<\/ul>\n\n\n\n<p>Iniziamo dalle nostre ipotesi di partenza:<\/p>\n\n\n\nH<sub>0<\/sub> : \u03b4 = 0\n<br>\nH<sub>a<\/sub> : \u03b4 \u2260 0\n<br><br>\n\n\n\n<p>la lettera delta indica &#8220;differenza&#8221;. Quindi le nostre ipotesi sono che la differenza sia uguale o diversa da 0.<br>Calcoliamo ora t:<\/p>\n\n\n\n\\(\nt=\\frac{\\bar{d}-\\delta}{SE_\\bar{d}} \\\\\n\\)\n<br>\ndove\n\\(\n\\bar{d}\n\\)\n\u00e8 la media della differenza tra le variabili accoppiate (&#8220;paired&#8221; in inglese).<br><br>\n\\(\nSE_\\bar{d}\n\\)\n\u00e8 l&#8217;errore standard della differenza per la variabile.<br><br>\n\\(\ns_{d}=\\sqrt{\\frac{\\Sigma(d-\\bar{d})^2}{n-1}}\n\\)\n<br><br>\ne la formula per l&#8217;errore standard \u00e8:\n\\(\nSE_\\bar{d}=\\frac{s_{d}}{\\sqrt{n}}\n\\)\n\n\n\n<h3 class=\"wp-block-heading\">E&#8217; arrivato il momento di un esempio<\/h3>\n\n\n\n<p>Voglio testare un&#8217;ipotesi sugli stessi soggetti, prima e dopo un certo evento.<br>Se devo condurre un test pre e post sui medesimi soggetti, allora user\u00f2 un test sulle differenze. Se le due serie di valori sono variabili dipendenti user\u00f2 la funzione R:<\/p>\n\n\n\n<pre class=\"wp-block-preformatted\">t.test(prima, dopo, paired=TRUE)<\/pre>\n\n\n\n<p>e otterr\u00f2 il valore di p. Se il valore risulter\u00e0 minore del livello di significativit\u00e0 alpha prescelto, sceglier\u00f2 l&#8217;ipotesi alternativa al posto dell&#8217;ipotesi nulla.<\/p>\n\n\n\n<p>In pratica in R:<\/p>\n\n\n\n<pre class=\"wp-block-preformatted\">diff=post$test - post$post_test\nhist(diff)<\/pre>\n\n\n\n<p>e verifico la normalit\u00e0 delle differenze. Se \u00e8 ok, proseguo con il test:<\/p>\n\n\n\n<pre class=\"wp-block-preformatted\">t.test(post$test,post$post_test,paired=TRUE)<\/pre>\n\n\n\n<p>nel caso di un test a due code. La funzione mi restituisce i valori di<em> t<\/em>, <em>df<\/em> e <em>p<\/em>.<br>Se p \u00e8 &lt;0.05 (scegliendo un livello di significativit\u00e0 al 95%, quindi alpha=0.05) rigetto l&#8217;ipotesi nulla e accolgo l&#8217;ipotesi alternativa.<\/p>\n\n\n\n<p>Se il test fosse a una coda:<\/p>\n\n\n\n<pre class=\"wp-block-preformatted\">t.test(post$test,post$post_test,paired=TRUE,alternative=\"less\")\noppure\nt.test(post$test,post$post_test,paired=TRUE,alternative=\"greater\")<\/pre>\n\n\n<!-- internal-links-section -->\n<h3>Potrebbe interessarti anche<\/h3>\n<ul>\n<li><a href=\"https:\/\/www.gironi.it\/blog\/ab-testing\/\">A\/B Testing: come condurre esperimenti statisticamente validi (e gli errori da evitare)<\/a><\/li>\n<li><a href=\"https:\/\/www.gironi.it\/blog\/intervalli-di-confidenza\/\">Intervalli di confidenza: cosa sono, come calcolarli (e cosa NON significano)<\/a><\/li>\n<\/ul>","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>In un precedente post abbiamo parlato del test delle ipotesi per quanto riguarda una singola misura: la media del campione. 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