In termini pi\u00f9 chiari e diretti: la mia scoperta sperimentale \u00e8 dovuta al caso? Bisogna capire la differenza tra probabilit\u00e0<\/strong> e inferenza<\/strong>. Nel test delle ipotesi abbiamo sempre da “soppesare” due ipotesi. Lo status quo<\/em> \u00e8 chiamato ipotesi nulla<\/strong> ed ha simbolo H0<\/sub><\/p>\n\n\n\n Quello che faremo \u00e8 di andare a testare l’ipotesi nulla contro un’ipotesi alternativa<\/strong>, a cui diamo il simbolo Ha<\/sub><\/p>\n\n\n\n N.B. In genere, l’ipotesi alternativa \u00e8 quella a cui crediamo!<\/em><\/p>\n\n\n\n Scegliamo poi un livello di significativit\u00e0<\/strong> o alpha level<\/strong> \u03b1. Se il valore che otteniamo con il nostro test cade in una regione critica, respingeremo l’ipotesi nulla, accogliendo l’ipotesi alternativa.<\/strong> Il risultato raggiunto, ovviamente, non costituisce una certezza.<\/p>\n\n\n\n Il livello di significativit\u00e0 del test (nel nostro primo esempio il 95%) ci indica la probabilit\u00e0 di incorrere in un errore di I tipo<\/strong>, cio\u00e8 di rifiutare erroneamente l’ipotesi nulla<\/strong>, che era vera, accettando l’ipotesi alternativa.<\/p>\n\n\n\n Come si vede, possiamo determinare il livello di significativit\u00e0 del nostro test, cio\u00e8 possiamo fissare la probabilit\u00e0 massima con cui accettiamo di rischiare l’errore di I tipo.<\/p>\n\n\n\n Se invece accettiamo come valida l’ipotesi nulla, quando doveva essere rifiutata in quanto falsa<\/strong>, compiamo un errore di II tipo<\/strong>.<\/p>\n\n\n\n Il modo pi\u00f9 chiaro che ho trovato per spiegare il concetto \u00e8 questo… <\/p>\n\n\n\n <\/p>\n\n\n\n Il calcolo della probabilit\u00e0 di incorrere in un errore di tipo II non \u00e8 cos\u00ec diretto come nel caso dell’errore di tipo I, e lo affronter\u00f2 in maniera un po’ semplificata pi\u00f9 avanti<\/a>.<\/p>\n\n\n\n Il test pu\u00f2 essere a 1 coda, <\/strong>ad esempio se l’ipotesi alternativa \u00e8 che una media sia maggiore della media che rappresenta l’ipotesi nulla:<\/p>\n\n\n oppure a 2 code <\/strong>(se l’ipotesi alternativa \u00e8 che la media che ipotizzo sia diversa dall’ipotesi nulla).<\/p>\n\n\n\n Nell’ipotesi a 2 code avremo 2 regioni critiche ai due estremi della curva, ciascuna delle quali rappresenta un livello \u03b1\/2:<\/p>\n\n\n Devo pormi una domanda fondamentale: ma quale distribuzione devo utilizzare<\/strong>?<\/p>\n\n\n\n La risposta pu\u00f2 essere trovata guardando al sigma<\/strong> (la deviazione standard o scarto quadratico medio<\/a>) e la numerosit\u00e0 del campione. Mi chiedo:<\/p>\n\n\n\n Conosco il sigma della popolazione?<\/strong> (nella realt\u00e0 un caso abbastanza raro…). Ho un campione sufficientemente numeroso (n>30) ?<\/p>\n\n\n\n Se la risposta \u00e8 SI<\/strong>, allora uso la distribuzione normale<\/strong> (e calcolo lo Z-score).<\/p>\n\n\n\n Se la risposta \u00e8 NO<\/strong>, cio\u00e8 se non conosco il valore del sigma della popolazione (o se sto lavorando con campioni numericamente esigui), allora user\u00f2 la distribuzione t<\/strong> o distribuzione di Student<\/strong>.<\/p>\n\n\n\n n.b. quando il campione diventa numeroso, la distribuzione t approssima sempre di pi\u00f9 la normale…<\/em><\/p>\n\n\n\n Voglio condurre un test delle ipotesi in una situazione nella quale conosco il sigma della popolazione.<\/p>\n\n\n\n Seguiamo i nostri passaggi.<\/p>\n\n\n\n Se:<\/p>\n\n\n\n\\(\nH_{0}: \\mu = x \\\\\nH_{a}: \\mu \\neq X \\\\\n\\)\n\n\n\n allora siamo di fronte a un test a 2 code. Avremo cio\u00e8 due zone critiche da considerare. allora il test \u00e8 a una coda.<\/p>\n\n\n\n Scegliamo il caso pi\u00f9 tipico, un livello di significativit\u00e0 pari al 95%, quindi:<\/p>\n\n\n\n\\(\n\\alpha = 0,05\n\\)\n\n\n\n Suppongo di avere raccolgo i dati. Mi chiedo ora quale tipo di distribuzione devo usare per il mio test. La domanda \u00e8 sempre quella:<\/p>\n\n\n\n Conosco il sigma della popolazione?<\/p>\n\n\n\n Nel mio esempio diciamo di s\u00ec, e allora usiamo la normale…<\/p>\n\n\n\n Calcoliamo lo Z-score. Trovo:<\/p>\n\n\n\n\\(\n\\sigma_{\\bar{x}}= \\frac{\\sigma}{\\sqrt{n}} \\\\\n\\)\n\n\n\n ora posso trovare Z:<\/p>\n\n\n\n\\(\nZ = \\frac{\\bar{x} – \\mu}{\\sigma_{\\bar{x}}} \\\\\n\\)\n\n\n\n Mettiamo che il test sia con :<\/p>\n\n\n\n\\(\nH_{0}: \\mu = x \\\\\nH_{a}: \\mu \\neq X \\\\\n\\)\n\n\n\n quindi a 2 code. Il livello di significativit\u00e0 prescelto \u00e8 il 95%, dunque vado a cercare 2,5% (5%\/2) sulla tavola, e trovo il valore 1.96.<\/p>\n\n\n\n n.b. avrei potuto usare R con la funzione: <\/em><\/p>\n\n\n\n Se invece non ho la tabella a portata di mano e non voglio scomodare R, posso trovare al volo il valore con la fidata calcolatrice Casio:<\/p>\n\n\n\n Se uso una gloriosa TI-83 potr\u00f2 ottenere il valore facilmente cos\u00ec:<\/p>\n\n\n\n Qualunque strumento io abbia utilizzato, il valore che trover\u00f2 sar\u00e0 di (arrotondando) 1.96.<\/p>\n\n\n\n Quindi -1,96 e +1.96 sono i valori critici.<\/strong><\/p>\n\n\n\n Se il mio Z-score risulta, per esempio, di 2.50, noto immediatamente che il valore risulta compreso nella zona critica. Allora posso rigettare l’ipotesi nulla e accettare quella alternativa.<\/strong><\/p>\n\n\n\n Due consigli al volo:
Il test delle ipotesi \u00e8 proprio una procedura statistica per verificare se il caso sia una spiegazione plausibile di un risultato sperimentale.<\/strong><\/p>\n\n\n\n\n\n\n\nUna premessa…<\/h2>\n\n\n\t\t\t\t
\n\n\n\n
<\/p>\n\n\n\n\n
<\/li>\n\n\n\nIpotesi statistiche<\/h2>\n\n\n\n
Lo standard comune \u00e8 \u03b1 = 0.05, cio\u00e8 un livello di significativit\u00e0 al 95%<\/strong>.
In base all’alpha level possiamo stabilire la o le regioni critiche<\/strong>.<\/p>\n\n\n\n
Un semplice esempio grafico di rappresentazione. Ipotizzo un test in cui stabilisco l’ipotesi alternativa che la media risulti maggiore della media dell’ipotesi nulla. Si tratta di un caso in cui ho una sola zona critica, in questo caso quella a destra del valore \u03b1. Per rigettare l’ipotesi nulla il valore del mio test dovr\u00e0 cadere nell’area grigia:<\/p>\n\n\n\n![\"\"](\"https:\/\/www.gironi.it\/blog\/wp-content\/uploads\/2019\/01\/regione-critica.gif\")
<\/figure>\n\n\n\nErrori di I e II tipo<\/h2>\n\n\n\n
![\"\"](\"https:\/\/www.gironi.it\/blog\/wp-content\/uploads\/2024\/03\/typeItypeIIerrors-1024x412.png\" "\\"typeItypeIIerrors\\"")
<\/figure><\/div>\n\n\n\nUna o due code? Questo \u00e8 il problema…<\/h2>\n\n\n\n
![\"test](\"https:\/\/www.gironi.it\/blog\/wp-content\/uploads\/2018\/11\/una-coda.gif\")
![\"\"](\"https:\/\/www.gironi.it\/blog\/wp-content\/uploads\/2018\/11\/due-code.gif\")
Riassumiamo per punti<\/h2>\n\n\n\n
\n
C’\u00e8 bisogno di un esempio<\/h2>\n\n\n\n
1 – Stabilisco l’ipotesi nulla e l’ipotesi alternativa<\/h4>\n\n\n\n
Se invece:<\/p>\n\n\n\n\\(\nH_{0}: \\mu = x \\\\\nH_{a}: \\mu > X \\\\\n\\)\n\n\n\n2 – Fisso il livello di significativit\u00e0 (alpha level)<\/h4>\n\n\n\n
3 e 4 – Scelgo la distribuzione e Raccolgo e analizzo i dati<\/h4>\n\n\n\n
5 – (finalmente) Traggo le conclusioni<\/h4>\n\n\n\n
qnorm(0.025)<\/pre>\n\n\n\n
Shift CATALOG\nInvNormCD(0.975)<\/pre>\n\n\n\n
2nd DISTR\n3 (invNorm)\ninvNorm(0,975)<\/pre>\n\n\n\n
1) Disegniamo sempre il grafico<\/strong>. Ci aiuter\u00e0 moltissimo a non commettere errori.
2) I livelli di significativit\u00e0 pi\u00f9 comunemente usati sono quelli al 5%<\/strong> e all’1%<\/strong>. I valori critici nel caso di test a una coda oppure a due code che pi\u00f9 spesso troveremo e che quindi possiamo imparare sono:<\/p>\n\n\n\n