{"id":1131,"date":"2019-11-09T16:10:02","date_gmt":"2019-11-09T15:10:02","guid":{"rendered":"https:\/\/www.gironi.it\/blog\/?p=1131"},"modified":"2026-02-25T09:22:32","modified_gmt":"2026-02-25T08:22:32","slug":"la-distribuzione-t-e-il-test-delle-ipotesi","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/www.gironi.it\/blog\/la-distribuzione-t-e-il-test-delle-ipotesi\/","title":{"rendered":"La distribuzione t e il test delle ipotesi"},"content":{"rendered":"\n<p>In un <a href=\"https:\/\/www.gironi.it\/blog\/il-test-delle-ipotesi\/\">precedente post<\/a> ho presentato in modo (spero) molto semplice il concetto di test delle ipotesi, un metodo statistico ampiamente utilizzato per determinare la validit\u00e0 di una determinata affermazione basata su un campione di dati. <\/p>\n\n\n\n<p>Negli esempi che ho proposto, tuttavia, ero a conoscenza del valore della deviazione standard, il <strong>sigma<\/strong>, della popolazione.<br>Nella pratica si tratta di un caso abbastanza raro, che mi consente di usare la <strong>distribuzione normale<\/strong>, calcolando lo <strong>Z-score<\/strong>. <\/p>\n\n\n\n<p>Se invece non conosco il valore del sigma della popolazione, oppure se <strong>sto lavorando con piccoli campioni<\/strong> devo ricorrere a un tipo di distribuzione differente, chiamata <strong>distribuzione t<\/strong> o <strong>distribuzione di Student<\/strong>.<\/p>\n\n\n\n<p>Detta pi\u00f9 semplicemente e pi\u00f9 chiaramente:<\/p>\n\n\n\n<p class=\"has-light-gray-background-color has-background\"><strong>La distribuzione t di Student \u00e8 una distribuzione di probabilit\u00e0 utilizzata per valutare l&#8217;importanza statistica dei risultati in caso di campioni di dimensioni piccole e incertezza sulla varianza.<\/strong><\/p>\n\n\n\n<!--more-->\n\n\n\n<hr class=\"wp-block-separator has-css-opacity\"\/>\n\n\n\t\t\t\t<div class=\"wp-block-uagb-table-of-contents uagb-toc__align-left uagb-toc__columns-1  uagb-block-ca751fa6 wp-block-uagb-table-of-contents uagb-toc__align-left uagb-toc__columns-undefined uagb-block-8677d63c     \"\n\t\t\t\t\tdata-scroll= \"1\"\n\t\t\t\t\tdata-offset= \"30\"\n\t\t\t\t\tstyle=\"\"\n\t\t\t\t>\n\t\t\t\t<div class=\"uagb-toc__wrap\">\n\t\t\t\t\t\t<div class=\"uagb-toc__title\">\n\t\t\t\t\t\t\tDi cosa parleremo\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t<div class=\"uagb-toc__list-wrap \">\n\t\t\t\t\t\t<ol class=\"uagb-toc__list\"><li class=\"uagb-toc__list\"><a href=\"#una-breve-digressione-storica\" class=\"uagb-toc-link__trigger\">Una breve digressione storica<\/a><li class=\"uagb-toc__list\"><a href=\"#un-esempio-vale-mille-spiegazioni\" class=\"uagb-toc-link__trigger\">Un esempio vale mille spiegazioni<\/a><li class=\"uagb-toc__list\"><a href=\"#unalternativa-alle-regioni-critiche-guardare-al-valore-p\" class=\"uagb-toc-link__trigger\">Un&#039;alternativa alle regioni critiche: guardare al valore p<\/a><ul class=\"uagb-toc__list\"><li class=\"uagb-toc__list\"><a href=\"#il-t-test-con-la-calcolatrice-ti-83\" class=\"uagb-toc-link__trigger\">Il T-Test Con la calcolatrice ti-83<\/a><li class=\"uagb-toc__list\"><li class=\"uagb-toc__list\"><a href=\"#calcolare-il-p-value-con-la-calcolatrice-casio-fx\" class=\"uagb-toc-link__trigger\">Calcolare il p-value con la calcolatrice Casio FX<\/a><\/li><\/ul><\/li><li class=\"uagb-toc__list\"><a href=\"#stima-margine-di-errore-e-intervallo-di-confidenza-controlliamo-il-risultato-del-test-delle-ipotesi\" class=\"uagb-toc-link__trigger\">Stima, margine di errore e intervallo di confidenza: controlliamo il risultato del test delle ipotesi<\/a><ul class=\"uagb-toc__list\"><li class=\"uagb-toc__list\"><a href=\"#lintervallo-di-confidenza-con-la-ti-83\" class=\"uagb-toc-link__trigger\">L&#039;intervallo di confidenza con la TI-83<\/a><li class=\"uagb-toc__list\"><li class=\"uagb-toc__list\"><a href=\"#lintervallo-di-confidenza-con-la-casio\" class=\"uagb-toc-link__trigger\">L&#039;intervallo di confidenza con la Casio<\/a><\/li><\/ul><\/li><\/ul><\/li><li class=\"uagb-toc__list\"><a href=\"#il-t-test-il-calcolo-del-p-value-e-lintervallo-di-confidenza-con-r\" class=\"uagb-toc-link__trigger\">Il t-test, il calcolo del p-value e l&#039;intervallo di confidenza con R<\/a><li class=\"uagb-toc__list\"><a href=\"#in-conclusione\" class=\"uagb-toc-link__trigger\">In conclusione<\/a><li class=\"uagb-toc__list\"><a href=\"#alcuni-link-utili-e-autorevoli-per-approfondire\" class=\"uagb-toc-link__trigger\">Alcuni link utili e autorevoli per approfondire<\/a><ul class=\"uagb-toc__list\"><li class=\"uagb-toc__list\"><a href=\"#potrebbe-interessarti-anche\" class=\"uagb-toc-link__trigger\">Potrebbe interessarti anche<\/a><\/ul><\/ul><\/ul><\/ol>\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\n\n\n<hr class=\"wp-block-separator has-css-opacity\"\/>\n\n\n\n<h2 class=\"wp-block-heading has-text-align-center\">Una breve digressione storica<\/h2>\n\n\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" width=\"360\" height=\"464\" src=\"https:\/\/www.gironi.it\/blog\/wp-content\/uploads\/2019\/11\/William_Sealy_Gosset.jpg\" alt=\"Foto di William Gosset - lo scopritore della distribuzione t\" class=\"wp-image-1369\" srcset=\"https:\/\/www.gironi.it\/blog\/wp-content\/uploads\/2019\/11\/William_Sealy_Gosset.jpg 360w, https:\/\/www.gironi.it\/blog\/wp-content\/uploads\/2019\/11\/William_Sealy_Gosset-233x300.jpg 233w\" sizes=\"auto, (max-width: 360px) 85vw, 360px\" \/><figcaption class=\"wp-element-caption\">William Sealy Gosset (Student)<\/figcaption><\/figure>\n<\/div>\n\n\n<p>Nei primi anni del 1900, il chimico e studioso di statistica William Sealy Gosset, impiegato nel birrificio Guiness (e collaboratore di un gigante della statistica, <a aria-label=\"Karl Pearson (apre in una nuova scheda)\" href=\"https:\/\/en.wikipedia.org\/wiki\/Karl_Pearson\" target=\"_blank\" rel=\"noreferrer noopener\">Karl Pearson<\/a>), scopr\u00ec che quando lavorava con piccolissimi campioni, le distribuzioni della media differivano significativamente dalla distribuzione normale. <\/p>\n\n\n\n<p>Fatto ancora pi\u00f9 interessante, al variare delle dimensioni del campione la forma della distribuzione cambiava, e aumentando il campione la distribuzione approssimava via via sempre pi\u00f9 la normale. <\/p>\n\n\n\n<p>Non potendo rivelare la sua identit\u00e0 per non favorire i concorrenti, pubblic\u00f2 i suoi risultati con lo pseudonimo &#8220;Studente&#8221; e per questo le distribuzioni per campioni di piccole dimensioni sono ora note come &#8220;distribuzioni a T di Student&#8221;.<br>Se volete <a aria-label=\"leggere tutta la storia (apre in una nuova scheda)\" href=\"https:\/\/en.wikipedia.org\/wiki\/William_Sealy_Gosset\" target=\"_blank\" rel=\"noreferrer noopener\">leggere tutta la storia<\/a>, Wikipedia, come sempre, \u00e8 una buona fonte.<\/p>\n\n\n\n<hr class=\"wp-block-separator has-css-opacity\"\/>\n\n\n\n<p>La distribuzione t \u00e8 simmetrica rispetto al suo zero, ma risulta pi\u00f9 &#8220;piatta&#8221; della distribuzione normale standardizzata, cosicch\u00e8 una maggiore parte della sua area \u00e8 compresa nelle code. <\/p>\n\n\n\n<p><strong>Un campione pi\u00f9 numeroso fa s\u00ec che la distribuzione t approssimi sempre pi\u00f9 fedelmente la distribuzione normale. <br>Le differenze tra la distribuzione t e la normale sono maggiori quando abbiamo meno gradi di libert\u00e0.<\/strong> <\/p>\n\n\n\n<figure class=\"wp-block-image\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" width=\"614\" height=\"371\" src=\"https:\/\/www.gironi.it\/blog\/wp-content\/uploads\/2019\/11\/distribuzionitcompara.png\" alt=\"Test delle ipotesi - comparazione delle distribuzioni t\" class=\"wp-image-1381\" srcset=\"https:\/\/www.gironi.it\/blog\/wp-content\/uploads\/2019\/11\/distribuzionitcompara.png 614w, https:\/\/www.gironi.it\/blog\/wp-content\/uploads\/2019\/11\/distribuzionitcompara-300x181.png 300w\" sizes=\"auto, (max-width: 709px) 85vw, (max-width: 909px) 67vw, (max-width: 984px) 61vw, (max-width: 1362px) 45vw, 600px\" \/><figcaption class=\"wp-element-caption\">Le curve delle distribuzioni t per vari gradi di libert\u00e0 e comparate con la normale.<\/figcaption><\/figure>\n\n\n\n<p><br>Ma cosa intendiamo per <strong>gradi di libert\u00e0? <\/strong>Il numero di campioni che hanno la &#8220;libert\u00e0&#8221; di cambiare senza modificare la media del campione.<\/p>\n\n\n\n<p>Se il concetto non appare chiaro, si pu\u00f2 comunque passare all&#8217;utilizzo pratico, perch\u00e8 i gradi di libert\u00e0, fondamentali nel nostro calcolo, sono semplicemente pari alla numerosit\u00e0 del campione meno uno:<\/p>\n\n\n\n<p class=\"has-light-gray-background-color has-background\"><strong>df = n -1<\/strong><br><br>dove df = <em>degrees of freedom<\/em>, gradi di libert\u00e0<br>n = numerosit\u00e0 del campione<\/p>\n\n\n\n<p>Il procedimento per svolgere il test delle ipotesi avvalendosi della distribuzione t ricalca in buona parte quello che abbiamo gi\u00e0 visto nel caso del sigma noto e dell&#8217;uso della normale.<\/p>\n\n\n\n<p><strong>Stabilisco dunque l&#8217;ipotesi nulla, H<sub>0<\/sub>, e l&#8217;ipotesi alternativa, H<sub>a<\/sub>. <\/strong><\/p>\n\n\n\n<p>Per calcolare la statistica del t-test uso la formula:<\/p>\n\n\n\n\\(\nt = \\frac{\\bar{x} &#8211; \\mu}{\\frac{s}{\\sqrt{n}}} \\\\\n\\)\n\n\n\n\\(\n\\frac{s}{\\sqrt{n}} \\ \u00e8\\ l&#8217;errore\\ standard\\ stimato,\\ che\\ possiamo\\ anche\\ indicare\\ con\\ SE{\\bar{x}}\n\\)\n\n\n\n<h2 class=\"wp-block-heading\">Un esempio vale mille spiegazioni<\/h2>\n\n\n\n<p>Un&#8217;azienda di lampadine ritiene che il proprio prodotto abbia una durata media di almeno 4200 ore.<\/p>\n\n\n\n<p>Viene preso un campione di n=10 lampadine e si riscontra una media di durata del campione pari a 4000 ore. <br>La deviazione standard del campione \u00e8 pari a 200 ore.<\/p>\n\n\n\n<p>Quindi, riassumendo:<\/p>\n\n\n\n\\(\nn=10\\\\\n\\bar{x}=4000\\\\\ns=200\\\\\n\\)\n\n\n\n<p>Pongo allora le mie condizioni per effettuare un test:<\/p>\n\n\n\n<p>\nH<sub>0<\/sub> &ge; 4200\n<br>\nH<sub>a<\/sub> < 4200\n<\/p>\n\n\n\n<p>Scelgo  un<strong> livello di significativit\u00e0 pari al 95%<\/strong> (cio\u00e8 <strong>alpha=0,05<\/strong>).<br><br>Nella tabella dei valori critici della distribuzione t andr\u00f2 a cercare il valore che corrisponde a 9 gradi di libert\u00e0 (<em>guardo la riga<\/em>) e alpha 0,05 (<em>incrocio con la colonna<\/em>). <br><strong>Tale valore risulta essere 1.833<\/strong><\/p>\n\n\n\n<p><strong>Rigetteremo allora l&#8217;ipotesi nulla qualora il valore t che andiamo a calcolare risulti inferiore a 1.833<\/strong>.<\/p>\n\n\n\n<p>Il valore dell&#8217;errore standard \u00e8:<\/p>\n\n\n\n\\(\n\\frac{s}{\\sqrt{n}}=\\frac{200}{\\sqrt{10}}=\\frac{200}{3.16}=63,3 \\\\\n\\)\n\n\n\n<p>Calcolo t:<\/p>\n\n\n\n\\(\nt=\\frac{\\bar{x} &#8211; \\mu}{SE\\bar{x}}=\\frac{4000-4200}{63,3}=\\frac{-200}{63,3}=-3,16\\\\\n\\)\n\n\n\n<p>Il<strong> valore di t cade nell&#8217;area critica<\/strong>: <strong>si rigetta allora l&#8217;ipotesi nulla<\/strong> e si accetta con un livello di significativit\u00e0 del 95% che la durata media delle lampadine sia minore delle 4200 ore dichiarate dal produttore.<\/p>\n\n\n\n<h2 class=\"wp-block-heading\">Un&#8217;alternativa alle regioni critiche: guardare al valore p<\/h2>\n\n\n\n<p>Possiamo anche valutare una ipotesi chiedendoci: &#8220;<em>Qual \u00e8 la probabilit\u00e0 di ottenere il valore del test statistico che abbiamo riscontrato se \u00e8 vera l&#8217;ipotesi nulla?<\/em>&#8220;. Questa probabilit\u00e0 \u00e8 chiamata <strong>valore p<\/strong>.<\/p>\n\n\n\n<p>Questa, in effetti, \u00e8 la strada pi\u00f9 comoda da seguire avendo a disposizione strumenti quali una calcolatrice con funzioni statistiche oppure R: l&#8217;interpretazione del risultato risulta infatti immediata. Vediamo il nostro esempio.<\/p>\n\n\n\n<h3 class=\"wp-block-heading\">Il T-Test Con la calcolatrice ti-83<\/h3>\n\n\n\n<pre class=\"wp-block-preformatted\">Schiaccio STAT<br>Poi TESTS e scelgo<br>2:T-Test e confermo con ENTER<br>Scelgo STATS e inserisco i dati<br>Scelgo CALCULATE e confermo con ENTER<\/pre>\n\n\n\n<p>Ottengo il valore t=-3.16 e il valore di p=0.00575.<\/p>\n\n\n\n<p>Questo significa che c&#8217;\u00e8 appena una probabilit\u00e0 dello 0,575% che sotto l&#8217;ipotesi nulla si verifichi il risultato che abbiamo riscontrato. <\/p>\n\n\n\n<p><strong>p \u00e8 minore del livello di significativit\u00e0<\/strong> alpha che abbiamo scelto (p &lt; 0,05).<\/p>\n\n\n\n<p>Dunque, <strong>l&#8217;ipotesi nulla \u00e8 da rigettare<\/strong> a favore dell&#8217;ipotesi alternativa.<\/p>\n\n\n\n<h3 class=\"wp-block-heading\">Calcolare il p-value con la calcolatrice Casio FX<\/h3>\n\n\n\n<p>Lo stesso calcolo posso eseguirlo semplicemente anche con una calcolatrice scientifica Casio:<\/p>\n\n\n\n<pre class=\"wp-block-preformatted\">MENU<br>STAT<br>F3 (TEST)<br>F2 (t)<br>F1 (1-s)<br>DATA: Variable<br>inserisco i miei dati<br>Vado con la freccia verso il basso fino ad EXECUTE<br>F1 (calc)<\/pre>\n\n\n\n<p>La calcolatrice mi restituisce il valore di t e di p<\/p>\n\n\n\n<h2 class=\"wp-block-heading\">Stima, margine di errore e intervallo di confidenza: controlliamo il risultato del test delle ipotesi<\/h2>\n\n\n\n<p>Quando una ipotesi \u00e8 scartata, \u00e8 certamente utile operare una stima per cercare di capire quale sia il vero valore della media. Nel nostro esempio abbiamo scartato l&#8217;affermazione del produttore che le sue lampadine durino in media pi\u00f9 di 4200 ore. Ma allora, quanto durano in realt\u00e0?<\/p>\n\n\n\n<p>Per calcolare l&#8217;intervallo di confidenza, abbiamo bisogno di conoscere 3 cose:<\/p>\n\n\n\n<ol class=\"wp-block-list\">\n<li><strong>La media del nostro campione<\/strong><\/li>\n\n\n\n<li>L<strong>&#8216;errore standard<\/strong><\/li>\n\n\n\n<li><strong>Il valore critico<\/strong><\/li>\n<\/ol>\n\n\n\n<p>La formula per ottenere l&#8217;intervallo di confidenza \u00e8:<\/p>\n\n\n\n\\(\n\\bar{x}\\ \\pm \\ Margine\\ Di\\ Errore \\\\\n\\)\n\n\n\n<p>e il Margine di Errore \u00e8:<\/p>\n\n\n\n\\(\nME\\ =\\ t\\ critico \\times\\ SE\\bar{x} \\\\\n\\)\n\n\n\n<p>Nel nostro caso:<br>ME = 1,833 x 63,3 = circa 116<\/p>\n\n\n\n<p>Quindi possiamo dire che il nostro intervallo di confidenza al 95% \u00e8 tra 3884 e 4116.<\/p>\n\n\n\n<p>Come si pu\u00f2 notare, il valore indicato dal produttore, 4200 ore, si trova come ci aspettavamo fuori all&#8217;intervallo di confidenza.<\/p>\n\n\n\n<h3 class=\"wp-block-heading\">L&#8217;intervallo di confidenza con la TI-83<\/h3>\n\n\n\n<p>Ecco la sequenza di comandi necessaria per calcolare l&#8217;intervallo di confidenza:<\/p>\n\n\n\n<pre class=\"wp-block-preformatted\">STAT<br>TESTS<br>8TInterval<br>STATS<br>inserisco i dati<br>CALCULATE<\/pre>\n\n\n\n<h3 class=\"wp-block-heading\">L&#8217;intervallo di confidenza con la Casio<\/h3>\n\n\n\n<p>Questa invece \u00e8 la sequenza dei comandi sulla mia Casio serie fx:<\/p>\n\n\n\n<pre class=\"wp-block-preformatted\">MENU<br>STAT<br>F4 (Intr)<br>F2 (t)<br>F1 (1-s)<br>inserisco i dati<br>EXECUTE<\/pre>\n\n\n\n<h2 class=\"wp-block-heading\">Il t-test, il calcolo del p-value e l&#8217;intervallo di confidenza con R<\/h2>\n\n\n\n<p>R \u00e8 come sempre il nostro migliore alleato, consentendoci di effettuare il test in maniera semplicissima e fornendoci tutte le informazioni utili.<br>Preparo dunque un vettore che contiene 10 misure che hanno per media 4000 e lo do&#8217; in pasto alla funzione <strong><em>t.test<\/em><\/strong> di R, indicando che la media per l&#8217;ipotesi nulla, chiamata <em><strong>mu<\/strong><\/em>, \u00e8 4200, e che l&#8217;ipotesi alternativa \u00e8 che il valore reale sia inferiore &#8211; <strong><em>alternative=&#8221;less&#8221;<\/em><\/strong> :<\/p>\n\n\n\n<pre class=\"wp-block-preformatted\">vitalampadine &lt;- c(4100,3900,3800,4200,4000,4100,3900,3800,4200,4000)\nt.test(vitalampadine,mu=4200,alternative=\"less\")<\/pre>\n\n\n\n<p>R ci fornisce in output tutte le informazioni che ci servono.<\/p>\n\n\n\n<h2 class=\"wp-block-heading\">In conclusione<\/h2>\n\n\n\n<p>In generale, la distribuzione t di Student \u00e8 uno strumento potente e flessibile che pu\u00f2 essere utilizzato per valutare l&#8217;importanza statistica dei risultati in molti contesti diversi. Con una comprensione approfondita della distribuzione t e l&#8217;uso di software come R, \u00e8 possibile costruire test delle ipotesi efficaci e prendere decisioni informate sulla base dei dati raccolti.<\/p>\n\n\n\n<p class=\"has-light-gray-background-color has-background\">Nota a margine: Qualora il campione sia poco numeroso (n&lt;30) e la popolazione non sia distribuita in maniera approssimativamente normale, posso applicare il <a href=\"https:\/\/www.gironi.it\/blog\/la-distribuzione-normale\/#chebishev\">Teorema di Chebishev.<\/a><\/p>\n\n\n\n<h2 class=\"wp-block-heading\">Alcuni link utili e autorevoli per approfondire<\/h2>\n\n\n\n<ul class=\"wp-block-list\">\n<li><a href=\"https:\/\/statisticsbyjim.com\/hypothesis-testing\/t-tests-t-values-t-distributions-probabilities\/\" target=\"_blank\" rel=\"noreferrer noopener\">How t-Tests Work: t-Values, t-Distributions, and Probabilities &#8211; <em>statisticsbyjim.com<\/em><\/a><\/li>\n\n\n\n<li><a href=\"https:\/\/sixsigmastudyguide.com\/one-sample-t-hypothesis-test\/\" target=\"_blank\" rel=\"noreferrer noopener\">One Sample T Hypothesis Test (Student&#8217;s T Test) &#8211; <em>sixsigmastudyguide.com<\/em><\/a><\/li>\n<\/ul>\n\n\n<!-- internal-links-section -->\n<h3>Potrebbe interessarti anche<\/h3>\n<ul>\n<li><a href=\"https:\/\/www.gironi.it\/blog\/ab-testing\/\">A\/B Testing: come condurre esperimenti statisticamente validi (e gli errori da evitare)<\/a><\/li>\n<li><a href=\"https:\/\/www.gironi.it\/blog\/intervalli-di-confidenza\/\">Intervalli di confidenza: cosa sono, come calcolarli (e cosa NON significano)<\/a><\/li>\n<\/ul>","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>In un precedente post ho presentato in modo (spero) molto semplice il concetto di test delle ipotesi, un metodo statistico ampiamente utilizzato per determinare la validit\u00e0 di una determinata affermazione basata su un campione di dati. Negli esempi che ho proposto, tuttavia, ero a conoscenza del valore della deviazione standard, il sigma, della popolazione.Nella pratica &hellip; <a href=\"https:\/\/www.gironi.it\/blog\/la-distribuzione-t-e-il-test-delle-ipotesi\/\" class=\"more-link\">Leggi tutto<span class=\"screen-reader-text\"> &#8220;La distribuzione t e il test delle ipotesi&#8221;<\/span><\/a><\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"_uag_custom_page_level_css":"","footnotes":""},"categories":[629],"tags":[785,787,789,791,793],"class_list":["post-1131","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-statistica-it","tag-alpha-it","tag-distribuzione-t-it","tag-intervallo-di-confidenza-it","tag-student-it","tag-test-delle-ipotesi-it"],"lang":"it","translations":{"it":1131,"en":3471},"uagb_featured_image_src":{"full":false,"thumbnail":false,"medium":false,"medium_large":false,"large":false,"1536x1536":false,"2048x2048":false,"post-thumbnail":false},"uagb_author_info":{"display_name":"paolo","author_link":"https:\/\/www.gironi.it\/blog\/author\/paolo\/"},"uagb_comment_info":1,"uagb_excerpt":"In un precedente post ho presentato in modo (spero) molto semplice il concetto di test delle ipotesi, un metodo statistico ampiamente utilizzato per determinare la validit\u00e0 di una determinata affermazione basata su un campione di dati. 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