{"id":1131,"date":"2019-11-09T16:10:02","date_gmt":"2019-11-09T15:10:02","guid":{"rendered":"https:\/\/www.gironi.it\/blog\/?p=1131"},"modified":"2026-07-17T08:47:02","modified_gmt":"2026-07-17T07:47:02","slug":"la-distribuzione-t-e-il-test-delle-ipotesi","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/www.gironi.it\/blog\/la-distribuzione-t-e-il-test-delle-ipotesi\/","title":{"rendered":"Test t di Student con esempi in R per la SEO: confrontare CTR, conversioni e metriche"},"content":{"rendered":"\n

Abbiamo avuto modo di vedere, nel post sul test delle ipotesi<\/a>, come verificare se la media di un campione sia compatibile con una certa ipotesi sulla popolazione. Negli esempi che abbiamo proposto, per\u00f2, conoscevamo il valore della deviazione standard della popolazione, il sigma<\/strong> \u2014 una circostanza che ci permetteva di usare la distribuzione normale<\/strong> e lo Z-score<\/strong>.<\/p>\n\n\n\n

Nella pratica si tratta di un caso piuttosto raro. Se non conosciamo il sigma della popolazione, o se lavoriamo con campioni piccoli<\/strong>, dobbiamo ricorrere a una distribuzione diversa: la distribuzione t<\/strong>, o distribuzione di Student<\/strong>.<\/p>\n\n\n\n\n\n\n\n

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La distribuzione t di Student \u00e8 una distribuzione di probabilit\u00e0 utilizzata per valutare la significativit\u00e0 statistica dei risultati quando il campione \u00e8 piccolo e la varianza della popolazione \u00e8 incerta.<\/strong><\/p>\n<\/div><\/div>\n\n\n\n

Una breve digressione storica<\/h2>\n\n\n\n
\"William
William Sealy Gosset (Student)<\/figcaption><\/figure>\n\n\n\n

Nei primi anni del 1900, il chimico e statistico William Sealy Gosset, impiegato nel birrificio Guinness (e collaboratore di Karl Pearson), scopr\u00ec che quando lavorava con campioni molto piccoli, le distribuzioni della media differivano significativamente dalla normale. Al variare della dimensione del campione, la forma della distribuzione cambiava \u2014 e aumentando il campione, la distribuzione approssimava sempre pi\u00f9 la normale.<\/p>\n\n\n\n

Non potendo rivelare la sua identit\u00e0 per non favorire i concorrenti, pubblic\u00f2 i risultati con lo pseudonimo “Student”. Per questo le distribuzioni per campioni piccoli sono oggi note come distribuzioni t di Student<\/strong>.<\/p>\n\n\n\n

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La distribuzione t \u00e8 simmetrica rispetto allo zero, ma \u00e8 pi\u00f9 “piatta” della normale standardizzata: una porzione maggiore della sua area si trova nelle code.<\/p>\n\n\n\n

Un campione pi\u00f9 numeroso fa s\u00ec che la distribuzione t approssimi sempre pi\u00f9 fedelmente la normale. Le differenze sono massime quando abbiamo pochi gradi di libert\u00e0.<\/strong><\/p>\n\n\n\n

\"Le
Le distribuzioni t di Student per diversi gradi di libert\u00e0, confrontate con la normale (tratteggiata). Con pochi gradi di libert\u00e0 le code sono pi\u00f9 pesanti; gi\u00e0 con df = 30 la t \u00e8 quasi indistinguibile dalla normale.<\/figcaption><\/figure>\n\n\n\n

Cosa intendiamo per gradi di libert\u00e0<\/strong>? Il numero di valori del campione che hanno la “libert\u00e0” di variare senza alterare la media campionaria. In pratica, per il test su un campione:<\/p>\n\n\n\n\\( df = n – 1 \\\\ \\)\n\n\n\n

dove n \u00e8 la numerosit\u00e0 del campione.<\/p>\n\n\n\n

Il procedimento per il test delle ipotesi con la distribuzione t ricalca in buona parte quello gi\u00e0 visto con la normale. Stabiliamo l’ipotesi nulla H\u2080 e l’ipotesi alternativa H\u2090<\/strong>, poi calcoliamo la statistica test:<\/p>\n\n\n\n\\( t = \\frac{\\bar{x} – \\mu}{\\frac{s}{\\sqrt{n}}} \\\\ \\)\n\n\n\n

dove \\( \\frac{s}{\\sqrt{n}} \\) \u00e8 l’errore standard stimato<\/strong> (lo indichiamo anche con SE).<\/p>\n\n\n\n

Un esempio vale mille spiegazioni<\/h2>\n\n\n\n

Un’azienda di lampadine dichiara che il proprio prodotto ha una durata media di almeno 4200 ore. Prendiamo un campione di n = 10 lampadine e troviamo una media di 4000 ore, con deviazione standard campionaria di 200 ore.<\/p>\n\n\n\n\\( n = 10 \\quad \\bar{x} = 4000 \\quad s = 200 \\\\ \\)\n\n\n\n

Impostiamo il test:<\/p>\n\n\n\n

\\( H_0 : \\mu \\ge 4200 \\qquad H_a : \\mu < 4200 \\)<\/p>\n\n\n\n

Scegliamo un livello di significativit\u00e0 \u03b1 = 0,05<\/strong> (corrispondente a un livello di confidenza del 95%). Nella tabella dei valori critici della distribuzione t, cerchiamo il valore per 9 gradi di libert\u00e0 e \u03b1 = 0,05 (una coda). Il valore critico \u00e8 1,833.<\/strong> Rifiuteremo H\u2080 se il t calcolato \u00e8 inferiore a \u22121,833.<\/p>\n\n\n\n

Calcoliamo l’errore standard:<\/p>\n\n\n\n

\\[ SE = \\frac{s}{\\sqrt{n}} = \\frac{200}{\\sqrt{10}} = 63,3 \\]<\/p>\n\n\n\n

E il valore di t:<\/p>\n\n\n\n

\\[ t = \\frac{\\bar{x} – \\mu}{SE} = \\frac{4000 – 4200}{63,3} = -3,16 \\]<\/p>\n\n\n\n

Il valore di t cade nella regione critica<\/strong>: rifiutiamo H\u2080. Esiste evidenza statistica sufficiente per concludere che la durata media sia inferiore alle 4200 ore dichiarate.<\/p>\n\n\n\n

\"Test
Test t a un campione: regione critica e valore osservato<\/figcaption><\/figure>\n\n\n\n

Il p-value<\/h2>\n\n\n\n

Possiamo anche valutare l’ipotesi chiedendoci: qual \u00e8 la probabilit\u00e0 di ottenere un valore del test statistico uguale o pi\u00f9 estremo di quello osservato, assumendo che H\u2080 sia vera? Questa probabilit\u00e0 \u00e8 il p-value<\/strong>.<\/p>\n\n\n\n

Con R o una calcolatrice otteniamo t = \u22123,16 e p = 0,00575. I comandi per le calcolatrici:<\/p>\n\n\n\n