{"id":1003,"date":"2018-10-18T15:09:11","date_gmt":"2018-10-18T14:09:11","guid":{"rendered":"https:\/\/www.gironi.it\/blog\/?p=1003"},"modified":"2026-02-25T09:22:46","modified_gmt":"2026-02-25T08:22:46","slug":"misure-di-variabilita-o-dispersione","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/www.gironi.it\/blog\/misure-di-variabilita-o-dispersione\/","title":{"rendered":"Statistica descrittiva: misure di  variabilit\u00e0 (o dispersione)."},"content":{"rendered":"\n<p>Le misure di variabilit\u00e0 sono utilizzate per <strong>descrivere il grado di variabilit\u00e0 delle osservazioni rispetto ad un indice di tendenza centrale. <\/strong><\/p>\n\n\n\n<p>In altri termini, le misure di variabilit\u00e0 consentono di <strong>valutare la dispersione dei dati attorno ad un valore centrale<\/strong>, che pu\u00f2 essere rappresentato ad esempio dalla <a href=\"https:\/\/www.gironi.it\/blog\/statistica-descrittiva-misure-di-posizione\/#la-media-aritmetica\" target=\"_blank\" rel=\"noreferrer noopener\">media<\/a> o dalla <a href=\"https:\/\/www.gironi.it\/blog\/statistica-descrittiva-misure-di-posizione\/#la-mediana\" target=\"_blank\" rel=\"noreferrer noopener\">mediana<\/a>. Esse <strong>forniscono informazioni preziose sulla distribuzione dei dati<\/strong>, permettendo di ottenere una migliore comprensione del fenomeno osservato.<\/p>\n\n\n\n<p><strong><\/strong>Le tecniche per misurare la variabilit\u00e0 di insiemi di dati sono numerose. <br>Tra queste, le pi\u00f9 note (e pi\u00f9 utilizzate) sono:<\/p>\n\n\n\n<ul class=\"wp-block-list\">\n<li>il <a href=\"https:\/\/www.gironi.it\/blog\/statistica-descrittiva-misure-di-dispersione-o-variabilita#gamma\">campo di variabilit\u00e0<\/a><\/li>\n\n\n\n<li>lo <a href=\"https:\/\/www.gironi.it\/blog\/statistica-descrittiva-misure-di-dispersione-o-variabilita#scartomedio\">scarto medio<\/a> e la <a href=\"https:\/\/www.gironi.it\/blog\/statistica-descrittiva-misure-di-dispersione-o-variabilita#varianza\">varianza<\/a><\/li>\n\n\n\n<li>lo <a href=\"https:\/\/www.gironi.it\/blog\/statistica-descrittiva-misure-di-dispersione-o-variabilita#sqm\">scarto quadratico medio o deviazione standard<\/a><\/li>\n\n\n\n<li>il <a href=\"#cv\">coefficiente di variazione<\/a><\/li>\n<\/ul>\n\n\n\n<p>Visualizzeremo graficamente i concetti acquisiti di tendenza centrale e dispersione ritornando a parlare di <a href=\"https:\/\/www.gironi.it\/blog\/statistica-descrittiva-misure-di-dispersione-o-variabilita#forma\">asimmetria<\/a> e introducendo il concetto di <a href=\"https:\/\/www.gironi.it\/blog\/statistica-descrittiva-misure-di-dispersione-o-variabilita#curtosi\">curtosi<\/a>.<br><\/p>\n\n\n\n<!--more-->\n\n\n\n<hr class=\"wp-block-separator has-css-opacity\"\/>\n\n\n\t\t\t\t<div class=\"wp-block-uagb-table-of-contents uagb-toc__align-left uagb-toc__columns-1  uagb-block-9a8af426      \"\n\t\t\t\t\tdata-scroll= \"1\"\n\t\t\t\t\tdata-offset= \"30\"\n\t\t\t\t\tstyle=\"\"\n\t\t\t\t>\n\t\t\t\t<div class=\"uagb-toc__wrap\">\n\t\t\t\t\t\t<div class=\"uagb-toc__title\">\n\t\t\t\t\t\t\tGli argomenti trattati\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t<div class=\"uagb-toc__list-wrap \">\n\t\t\t\t\t\t<ol class=\"uagb-toc__list\"><li class=\"uagb-toc__list\"><a href=\"#il-campo-di-variabilit\u00e0-o-gamma\" class=\"uagb-toc-link__trigger\">Il campo di variabilit\u00e0 (o gamma)<\/a><li class=\"uagb-toc__list\"><a href=\"#lo-scarto-medio\" class=\"uagb-toc-link__trigger\">Lo scarto medio<\/a><li class=\"uagb-toc__list\"><a href=\"#varianza\" class=\"uagb-toc-link__trigger\">Varianza<\/a><li class=\"uagb-toc__list\"><a href=\"#lo-scarto-quadratico-medio-o-deviazione-standard-la-pi\u00f9-usata-delle-misure-di-variabilit\u00e0\" class=\"uagb-toc-link__trigger\">Lo scarto quadratico medio (o deviazione standard): la pi\u00f9 usata delle misure di variabilit\u00e0.<\/a><li class=\"uagb-toc__list\"><a href=\"#il-coefficiente-di-variazione\" class=\"uagb-toc-link__trigger\">Il coefficiente di variazione<\/a><li class=\"uagb-toc__list\"><a href=\"#la-forma-di-una-distribuzione\" class=\"uagb-toc-link__trigger\">La forma di una distribuzione<\/a><li class=\"uagb-toc__list\"><a href=\"#la-curtosi\" class=\"uagb-toc-link__trigger\">La curtosi<\/a><ul class=\"uagb-toc__list\"><li class=\"uagb-toc__list\"><a href=\"#potrebbe-interessarti-anche\" class=\"uagb-toc-link__trigger\">Potrebbe interessarti anche<\/a><\/ul><\/ol>\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\n\n\n<hr class=\"wp-block-separator has-css-opacity\"\/>\n\n\n\n<h2 class=\"wp-block-heading\" id=\"gamma\">Il campo di variabilit\u00e0 (o gamma)<\/h2>\n\n\n\n<p>Il campo di variabilit\u00e0, o Gamma (o <em>range<\/em>, per gli anglosassoni), \u00e8 dato dalla <strong>differenza fra il valore massimo e quello minimo<\/strong> dei dati non raggruppati di una distribuzione di frequenza.<\/p>\n\n\n\n<p>Si tratta di un calcolo velocissimo, che in R pu\u00f2 essere computato cos\u00ec:<\/p>\n\n\n\n<pre class=\"wp-block-preformatted\">max(var) - min(var)<\/pre>\n\n\n\n<p id=\"block-3f4f9035-4c7c-400b-8d3d-98e60157fd69\">In realt\u00e0 il massimo e il minimo sono visualizzabili anche con:<\/p>\n\n\n\n<pre class=\"wp-block-preformatted\">range(var)<\/pre>\n\n\n\n<p id=\"block-3f4f9035-4c7c-400b-8d3d-98e60157fd69\">e compaiono come primo e ultimo termine in:<\/p>\n\n\n\n<pre class=\"wp-block-preformatted\">fivenum(var)<\/pre>\n\n\n\n<p>Per dati raggruppati, il campo di range \u00e8 definito come la differenza tra il confine superiore della classe massima e il confine inferiore della classe minima.<\/p>\n\n\n\n<p>Un <strong>campo di variabilit\u00e0 modificato<\/strong> \u00e8 un campo dal quale \u00e8 stata eliminata una certa percentuale di valori estremi da entrambe le estremit\u00e0 della distribuzione (ad esempio l&#8217;<em>80 per cento intermedio<\/em>).<\/p>\n\n\n\n<hr class=\"wp-block-separator has-css-opacity\"\/>\n\n\n\n<h2 class=\"wp-block-heading\" id=\"scartomedio\">Lo scarto medio<\/h2>\n\n\n\n<p>Lo scarto medio \u00e8 una misura di variabilit\u00e0 che si basa sulla differenza dei singoli dati dalla loro media. Se si calcolasse la media sommando le differenze positive e negative fra i singoli dati e la media aritmetica, <strong>il risultato sarebbe sempre zero<\/strong>. Per questo motivo si <strong>sommano i valori assoluti delle differenze<\/strong>:<\/p>\n\n\n\n\\(\nSM = \\frac{\\Sigma|X &#8211; \\mu|}{N}\n\\)\n\n\n\n<div style=\"height:10px\" aria-hidden=\"true\" class=\"wp-block-spacer\"><\/div>\n\n\n\n<p>Quei &#8220;valori assoluti&#8221; pongono qualche problema di efficienza nella computazione, motivo per cui lo scarto medio non \u00e8 molto usato. Esiste un altro modo per eliminare i valori negativi, ed ecco quindi che si introduce l&#8217;importante concetto di&#8230;<\/p>\n\n\n\n<h2 class=\"wp-block-heading\" id=\"varianza\">Varianza<\/h2>\n\n\n\n<p>La varianza \u00e8 analoga allo scarto medio, poich\u00e8 si basa sulle<strong> differenze fra i singoli dati dell&#8217;insieme e la loro media<\/strong>, ma queste differenze sono <strong>elevate al quadrato prima di essere sommate<\/strong>. La varianza viene indicata con il simbolo del sigma minuscolo al quadrato e la formula \u00e8:<\/p>\n\n\n\n\\(\n\\sigma^{2}=\\frac{\\Sigma(X &#8211; \\mu)^{2}}{N} \\\\ \\\\\n\\)\n\n\n\n<p>R ha la funzione var() per il calcolo della varianza, ma computa (<em>n-1<\/em>) al denominatore. Per avere il valore della varianza per <em>N<\/em> come denominatore, possiamo allora scrivere una funzione:<\/p>\n\n\n\n<pre class=\"wp-block-preformatted\">varpopol <- function(variabile){var(variabile)*(1-1\/length(variabile))}<\/pre>\n\n\n\n<p>In generale, <strong>risulta difficile interpretare il significato del valore di una varianza<\/strong> perch\u00e8 <strong>le unit\u00e0 in cui \u00e8 espresso non sono le medesime in cui sono espresse le osservazioni<\/strong> dell'insieme di dati.<\/p>\n\n\n\n<p>Per questo motivo \u00e8 stato introdotto lo <em>scarto quadratico medio<\/em>.<\/p>\n\n\n\n<h2 class=\"wp-block-heading\" id=\"sqm\">Lo scarto quadratico medio (o deviazione standard): la pi\u00f9 usata delle misure di variabilit\u00e0.<\/h2>\n\n\n\n<p>Lo scarto quadratico medio non \u00e8 altro che la <strong>radice quadrata della varianza<\/strong>:<\/p>\n\n\n\n\\(\n\\sigma = \\sqrt{\\frac{\\Sigma(X - \\mu)^{2}}{N}} \\\\ \\\\\n\\)\n\n\n\n<p>Lo scarto quadratico medio \u00e8 di fondamentale utilit\u00e0 in statistica, particolarmente (come vedremo) in unione alla <a href=\"https:\/\/www.gironi.it\/blog\/la-distribuzione-normale\/\">distribuzione normale<\/a> di probabilit\u00e0.<\/p>\n\n\n\n<p>Nel caso di dati raggruppati si considera che il valore centrale di ciascuna classe rappresenti tutte le misurazioni comprese in quella classe. Si avr\u00e0 dunque per la varianza la formula:<\/p>\n\n\n\n\\(\n\\sigma^{2}=\\frac{\\Sigma f(X - \\mu)^{2}}{N} \\\\ \\\\\n\\)\n\n\n\n<p>e per lo scarto quadratico medio:<\/p>\n\n\n\n\\(\n\\sigma = \\sqrt{\\frac{\\Sigma f(X - \\mu)^{2}}{N}} \\\\ \\\\\n\\)\n\n\n\n<p>In R, la funzione per computare la deviazione standard \u00e8 sd().<br>R tuttavia usa (<em>n-1<\/em>) al denominatore. Quindi, se vogliamo il valore della deviazione standard per una popolazione (quindi con <em>n<\/em> al denominatore) possiamo definire un'apposita funzione:<\/p>\n\n\n\n<pre class=\"wp-block-preformatted\">sdpopol <- function(variabile){sqrt(sum((variabile - mean(variabile))^2)\/(length(variabile)))}<\/pre>\n\n\n\n<h2 class=\"wp-block-heading\" id=\"cv\">Il coefficiente di variazione<\/h2>\n\n\n\n<p>Il coefficiente di variazione indica la grandezza relativa dello scarto quadratico medio rispetto alla media della distribuzione delle misurazioni. <br>E' utilissimo per raffrontare fenomeni espressi con differenti unit\u00e0 di misura, poich\u00e8 <strong>il CV \u00e8 un numero \"puro\", indipendente dall'unit\u00e0 di misura impiegata<\/strong>:<\/p>\n\n\n\n\\(\nCV = \\frac{\\sigma}{\\mu}\n\\)\n\n\n\n<div style=\"height:10px\" aria-hidden=\"true\" class=\"wp-block-spacer\"><\/div>\n\n\n\n<p>Come sempre in R, esiste una funzione <em>ad hoc<\/em> : possiamo usare cv(), in questo caso definita in una libreria esterna,&nbsp;<a href=\"https:\/\/cran.r-project.org\/web\/packages\/labstatR\/index.html\" target=\"_blank\" rel=\"noreferrer noopener\">labstatR<\/a>. L'uso \u00e8 banale:<\/p>\n\n\n\n<pre class=\"wp-block-preformatted\">library(labstatR)\ndati <- c(24,17,21,23,15,30,24,21,24,19,25,28,22,20,14,19, 26,29,23,25,24,18,27,21);\ncv(dati);\n[1] 0.1817708<\/pre>\n\n\n\n<p>possiamo per\u00f2 anche calcolare il valore molto semplicemente senza ricorrere a librerie esterne:<\/p>\n\n\n\n<pre class=\"wp-block-preformatted\">dati <- c(24,17,21,23,15,30,24,21,24,19,25,28,22,20,14,19, 26,29,23,25,24,18,27,21);\nsdpopol <- function(variabile){sqrt(sum((variabile - mean(variabile))^2)\/(length(variabile)))}\ncvdati=sdpopol(dati)\/mean(dati);\ncvdati;\n[1] 0.1817708<\/pre>\n\n\n\n<h2 class=\"wp-block-heading\" id=\"forma\">La forma di una distribuzione<\/h2>\n\n\n\n<p>Le distribuzioni di frequenza possono assumere le forme pi\u00f9 varie. Fra tutte, quella di gran lunga pi\u00f9 importante in statistica \u00e8 la <strong>distribuzione normale<\/strong>, o distribuzione <strong>a campana<\/strong>, o ancora <strong>gaussiana<\/strong>.<\/p>\n\n\n\n<p>In una distribuzione <strong><a href=\"https:\/\/www.gironi.it\/blog\/la-distribuzione-normale\/\" data-type=\"post\" data-id=\"916\">normale<\/a><\/strong>, i dati sono ripartiti in maniera <strong>simmetrica rispetto alla media<\/strong>.<br>In maniera molto semplice, per descrivere la forma della distribuzione basta <strong>confrontare la media con la mediana<\/strong>: se <strong>sono uguali, la distribuzione \u00e8 simmetrica<\/strong>. Se la media \u00e8 maggiore della mediana, avremo un'<strong>asimmetria positiva<\/strong> (con una \"coda\" pi\u00f9 lunga a destra), se la media \u00e8 minore della mediana l'asimmetria risulter\u00e0 <strong>negativa<\/strong> (con la \"coda\" pi\u00f9 lunga sulla sinistra).<\/p>\n\n\n\n<p>La pi\u00f9 nota formula per il calcolo dell'asimmetria di una distribuzione \u00e8 quella per calcolare il <strong>coefficiente di asimmetria di Pearson<\/strong>:<\/p>\n\n\n\n\\(\nAsimmetria = \\frac{3(\\mu - med)}{\\sigma} \\\\ \\\\\n\\)\n\n\n\n<p>Una distribuzione perfettamente simmetrica presenta un valore di asimmetria pari a 0. Una distribuzione asimmetrica a destra (positiva) presenta un valore positivo, mentre una distribuzione asimmetrica sinistra avr\u00e0 un valore negativo.<\/p>\n\n\n\n<p>In genere i valori di asimmetria cadono tra -3 e 3 e il fatto che al denominatore compaia la deviazione standard rende il <strong>valore indipendente dall'unit\u00e0 di misura<\/strong>.<\/p>\n\n\n\n<p>Come calcolare l'indice di asimmetria in R ?<br>Il modo pi\u00f9 semplice \u00e8 quello di usare una libreria che ci metta a disposizione le funzioni che ci servono \"belle e pronte\"...<\/p>\n\n\n\n<pre class=\"wp-block-preformatted\">library (moments)\ndati <- c(24,17,21,23,15,30,24,21,24,19,25,28,22,20,14,19, 26,29,23,25,24,18,27,21);\nskewness(dati);\n[1] -0.1918578<\/pre>\n\n\n\n<p>la libreria \"moments\" fa al caso nostro. Vediamo per\u00f2 come calcolare l'indice anche senza fare ricorso ad una libreria. E' molto semplice.<br>Il primo passo \u00e8 quello di ricordare che <strong>R utilizza <em>n-1<\/em> al denominatore della varianza<\/strong>.<br>Noi per\u00f2 stiamo ragionando di una popolazione, dunque con <em>n<\/em> al denominatore. Dunque, andiamo a definire una funzione che ci consenta di ottenere il valore che ci serve:<\/p>\n\n\n\n<pre class=\"wp-block-preformatted\">varpopol <- function(variabile){var(variabile)*(1-1\/length(variabile))}<\/pre>\n\n\n\n<p>a questo punto possiamo calcolare il valore dell'indice di asimmetria:<\/p>\n\n\n\n<pre class=\"wp-block-preformatted\">dati <- c(24,17,21,23,15,30,24,21,24,19,25,28,22,20,14,19, 26,29,23,25,24,18,27,21);\nvarpopol <- function(variabile){var(variabile)*(1-1\/length(variabile))}\nzeta=(dati-mean(dati))\/sqrt(varpopol(dati));\nskew=mean(zeta^3);\nskew;\n[1] -0.1918578<\/pre>\n\n\n\n<h2 class=\"wp-block-heading\" id=\"curtosi\">La curtosi<\/h2>\n\n\n\n<p>La <strong>curtosi \u00e8 il grado di altezza raggiunto da una curva di distribuzione<\/strong>, in relazione alla distribuzione normale.<\/p>\n\n\n\n<p>Abbiamo 3 casi:<br><\/p>\n\n\n\n<ol class=\"wp-block-list\">\n<li>una curva <strong>alta<\/strong>. che viene detta&nbsp;<em><strong>leptocurtica<\/strong><\/em>&nbsp;e che risulta molto concentrata intorno alla sua media<\/li>\n\n\n\n<li>una curva <strong>normale<\/strong>, detta&nbsp;<em><strong>mesocurtica<\/strong><\/em><\/li>\n\n\n\n<li>una curva <strong>bassa e piatta<\/strong>, che viene definita&nbsp;<em><strong>platicurtica<\/strong><\/em>, poco concentrata intorno alla sua media<\/li>\n<\/ol>\n\n\n\n<figure class=\"wp-block-image\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" width=\"459\" height=\"282\" src=\"https:\/\/www.gironi.it\/blog\/wp-content\/uploads\/2018\/10\/curtosi.jpg\" alt=\"Misure di variabilit\u00e0: immagine di curve leptocurtica, mesocurtica, platicurtica\" class=\"wp-image-1056\" srcset=\"https:\/\/www.gironi.it\/blog\/wp-content\/uploads\/2018\/10\/curtosi.jpg 459w, https:\/\/www.gironi.it\/blog\/wp-content\/uploads\/2018\/10\/curtosi-300x184.jpg 300w\" sizes=\"auto, (max-width: 459px) 85vw, 459px\" \/><\/figure>\n\n\n\n<p><br><\/p>\n\n\n\n<p>Si pu\u00f2 misurare la curtosi dividendo il quarto momento per lo scarto quadratico medio elevato alla quarta potenza. Difficile? Pi\u00f9 a dirsi che a calcolarsi.<br>Ecco la formula:<\/p>\n\n\n\n\\(\nCurtosi = \\frac{\\Sigma f(X -\\mu)^{4}}{\\sigma^{4}} \\\\ \\\\\n\\)\n\n\n\n<p>La curtosi di una curva mesocurtica ha un valore di 3. Ovviamente, un coefficiente di curtosi &lt;3 indica una curva platicurtica, un valore &gt;3 leptocurtica.<br><br>Come per il valore dell'indice di asimmetria, la libreria \"moments\" ci fornisce una comoda funzione gi\u00e0 pronta:<\/p>\n\n\n\n<pre class=\"wp-block-preformatted\">library (moments)\ndati <- c(24,17,21,23,15,30,24,21,24,19,25,28,22,20,14,19, 26,29,23,25,24,18,27,21);\nkurtosis(dati);\n[1] 2.480035<\/pre>\n\n\n\n<p>Ma a noi non dispiace di calcolarcelo \"in proprio\":<\/p>\n\n\n\n<pre class=\"wp-block-preformatted\">dati <- c(24,17,21,23,15,30,24,21,24,19,25,28,22,20,14,19, 26,29,23,25,24,18,27,21);\nvarpopol <- function(variabile){var(variabile)*(1-1\/length(variabile))}\nzeta=(dati-mean(dati))\/sqrt(varpopol(dati));\ncurtosi=mean(zeta^4);\ncurtosi;\n[1] 2.480035\n<\/pre>\n\n\n<!-- internal-links-section -->\n<h3>Potrebbe interessarti anche<\/h3>\n<ul>\n<li><a href=\"https:\/\/www.gironi.it\/blog\/anomaly-detection\/\">Anomaly detection: come identificare valori anomali nei dati<\/a><\/li>\n<li><a href=\"https:\/\/www.gironi.it\/blog\/teorema-del-limite-centrale\/\">Il Teorema del Limite Centrale: perch\u00e9 la statistica funziona (anche quando i dati non sono normali)<\/a><\/li>\n<\/ul>","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Le misure di variabilit\u00e0 sono utilizzate per descrivere il grado di variabilit\u00e0 delle osservazioni rispetto ad un indice di tendenza centrale. In altri termini, le misure di variabilit\u00e0 consentono di valutare la dispersione dei dati attorno ad un valore centrale, che pu\u00f2 essere rappresentato ad esempio dalla media o dalla mediana. 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