ipergeometrica – paologironi blog https://www.gironi.it/blog Appunti sparsi di (retro) informatica, analisi dei dati, statistica, seo, e cose che cambiano Sun, 05 Jul 2026 20:02:55 +0000 it-IT hourly 1 La distribuzione ipergeometrica https://www.gironi.it/blog/la-distribuzione-ipergeometrica/ https://www.gironi.it/blog/la-distribuzione-ipergeometrica/#respond Fri, 24 Mar 2023 15:27:33 +0000 https://www.gironi.it/blog/?p=2933 Leggi tutto "La distribuzione ipergeometrica"]]> Abbiamo visto che la distribuzione binomiale si basa sull’ipotesi di una popolazione infinita N, condizione che si può realizzare in pratica campionando da una popolazione finita con reintroduzione.

Se ciò non avviene, cioè se operiamo campionando da una popolazione senza reintroduzione dobbiamo avvalerci della distribuzione ipergeometrica. (In realtà, se N è grande la funzione di probabilità di densità ipergeometrica tende alla binomiale).

La distribuzione ipergeometrica si usa per calcolare la probabilità di ottenere un certo numero di successi in una serie di tentativi binari (sì o no), dipendenti e con una probabilità di successo variabile.

La distribuzione ipergeometrica ci consente di rispondere a quesiti del tipo:

Se prendo un campione di dimensione N, in cui M elementi soddisfano determinati requisiti, qual è la probabilità di estrarre x elementi che soddisfano quei requisiti?

Di cosa parleremo
  1. Partiamo dalla formula
  2. La distribuzione ipergeometrica spiegata con esempi
  3. Può mancare un esempio con urna e palline?
  4. Per approfondire il tema della distribuzione ipergeometrica

Partiamo dalla formula

Esprimo sotto forma di formula la mia distribuzione:

\( f(X|N,M,n)=\frac{C^{N-M}_{n-x}\times C^M_x}{C^N_n} \\ \)

La distribuzione ipergeometrica spiegata con esempi

Sappiamo che un lotto di 30 pezzi contiene 6 pezzi malfunzionanti.
Se prendo un campione di 5 pezzi, quale è la probabilità di trovare esattamente 2 pezzi difettosi?

Scrivo subito i dati:

  • N=30 (il numero di pezzi complessivi del mio lotto)
  • M=6 (i pezzi malfunzionanti complessivi presenti nel lotto)
  • x=2 (voglio sapere la probabilità di trovare 2 pezzi difettosi)
  • n=5 (la grandezza del mio campione)

Vediamo di fare i semplici calcoli, ricordando come si calcolano i coefficienti binomiali:

\( Coefficienti\ binomiali:\frac{n!}{r!(n-r)!}\ quindi:\\ \\ \\ C^M_x=C^6_2=15\\ C^{N-M}_{n-x}=C^{24}_3=2024\\ C^{N}_n=C^{30}_5=142506\\ \frac{15×2024}{142506}=0,21304366\\ \\ \)

Nell’uso quotidiano, posso uso la calcolatrice scientifica Casio per non dover fare tutti i calcoli a mano:

MENU 
STAT
DIST [F5]
D [F6]
H-GEO [F3]
Hpd [F1]

e inserisco i miei dati:

Data: Variable
x: 2
n:5
M:6
N:30

Il risultato è 0.21304366, vale a dire il 21,3%

Vediamo come risolvere lo stesso problema in R:

# Definizione dei parametri della distribuzione ipergeometrica
x <- 2 # voglio sapere la probabilità di trovare 2 pezzi difettosi
n <- 5 # la grandezza del mio campione
M <- 6 # i pezzi malfunzionanti complessivi presenti nel lotto
N <- 30 # il numero di pezzi complessivi del mio lotto

# Calcolo della probabilità con la funzione dhyper
prob <- dhyper(x, M, N - M, n)
prob

e ottengo in output:

[1] 0.2130437
Ipergeometrica(N=30, M=6, n=5): la probabilità di trovare x pezzi difettosi in un campione di 5 estratto senza reintroduzione. La barra evidenziata è il caso dell'esempio, P(X = 2) = 0,213.
Ipergeometrica(N=30, M=6, n=5): la probabilità di trovare x pezzi difettosi in un campione di 5 estratto senza reintroduzione. La barra evidenziata è il caso dell’esempio, P(X = 2) = 0,213.
Senza reintroduzione serve l'ipergeometrica (blu); campionando con reintroduzione basterebbe la binomiale con p = 0,2 (arancio). Le due distribuzioni sono vicine e coinciderebbero per N molto grande.
Senza reintroduzione serve l’ipergeometrica (blu); campionando con reintroduzione basterebbe la binomiale con p = 0,2 (arancio). Le due distribuzioni sono vicine e coinciderebbero per N molto grande.

Può mancare un esempio con urna e palline?

Distribuzione ipergeometrica : estrazione di palline bianche o nere da un'urna.

Facciamo ora un altro esempio: stimiamo la probabilità che in un’urna con 10 palline bianche e 5 nere, estraendo 4 palline senza reintroduzione, se ne ottengano 3 bianche e 1 nera. Quindi:

  • x=3 Numero di palline bianche estratte
  • n=4 Numero di palline estratte
  • M=5 Numero di palline nere
  • N = 15 Numero totale di palline

Abbiamo visto che in R, è possibile utilizzare la funzione dhyper per calcolare la probabilità di estrarre 3 palline bianche e 1 nera dall’urna descritta.

Ecco il codice R:

# Definizione dei parametri della distribuzione ipergeometrica
x <- 3 # Numero di palline bianche estratte
n <- 4 # Numero di palline estratte
M <- 5 # Numero di palline nere
N <- 15 # Numero totale di palline

# Calcolo della probabilità con la funzione dhyper
prob <- dhyper(x, M, N - M, n)
prob

La probabilità di estrarre 3 palline bianche e 1 nera è quindi 0.07326007, ovvero circa il 7,33%.

Per approfondire il tema della distribuzione ipergeometrica

Sul fronte libri, Finalmente ho capito la statistica di Maurizio De Pra copre le distribuzioni discrete — ipergeometrica compresa — con un linguaggio accessibile e a prezzo contenuto.

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