La Probabilità

La probabilità è una misura matematica che ci indica la possibilità che un evento si verifichi. In altre parole, la probabilità è il rapporto tra il numero dei casi favorevoli e il numero dei casi possibili.

La probabilità si basa su due concetti fondamentali: lo spazio campionario e l’evento.

Lo spazio campionario è l’insieme di tutti i possibili risultati di un esperimento casuale.
Ad esempio, se lanciamo una moneta, lo spazio campionario è {testa, croce}. Se lanciamo due dadi, lo spazio campionario è {(1,1), (1,2), …, (6,6)}.

Un evento è un sottoinsieme dello spazio campionario che ci interessa.
Per esempio, se lanciamo una moneta e ci interessa sapere se uscirà testa o croce, l’evento è {testa} o {croce}. Se lanciamo due dadi e vogliamo sapere se la somma dei numeri è pari o dispari, l’evento è {(2,2), (2,4), …, (6,6)} o {(1,2), (1 ,4), …, (5 ,6)}.

La probabilità di un evento si calcola dividendo il numero dei casi favorevoli al verificarsi dell’evento per il numero dei casi possibili nello spazio campionario.

Per esempio:

se abbiamo un dado a sei facce e vogliamo sapere la probabilità di ottenere un 4 tirando il dado, abbiamo 1 caso favorevole (la faccia con il numero 4) rispetto a 6 casi possibili (le sei facce del dado).
Quindi, la probabilità di ottenere un 4 è di 1/6.

Altri possibili e semplici esempi:

• La probabilità che esca testa lanciando una moneta è 1/2
• La probabilità che la somma dei numeri sia pari lanciando due dadi è 18/36 = 1/2

La probabilità si esprime in numeri compresi tra 0 e 1, dove 0 indica l’impossibilità dell’evento e 1 indica la certezza dell’evento.

Un valore di probabilità vicino a 0 indica una bassa possibilità che l’evento si verifichi, mentre un valore di probabilità vicino a 1 indica una alta possibilità che l’evento si verifichi.

Il principio di additività delle probabilità per eventi incompatibili

Il principio di additività delle probabilità per eventi incompatibili afferma che la probabilità dell’unione di due o più eventi incompatibili è uguale alla somma delle loro probabilità.

Gli eventi incompatibili sono eventi che non possono verificarsi contemporaneamente, ovvero se uno si verifica, l’altro non può verificarsi.
Ad esempio, nel lancio di un dado, gli eventi “uscita del numero 3” e “uscita del numero 5” sono incompatibili. In questo caso, la probabilità dell’unione degli eventi (cioè l’uscita del numero 3 o del numero 5) è pari alla somma delle loro probabilità (1/6 + 1/6 = 1/3).

Il principio di moltiplicazione delle probabilità

Il principio di moltiplicazione delle probabilità afferma che la probabilità dell’intersezione di due eventi è uguale al prodotto delle loro probabilità individuali, se gli eventi sono indipendenti.

In altre parole, se A e B sono due eventi indipendenti in un esperimento di probabilità, allora la probabilità che entrambi si verifichino contemporaneamente è data dal prodotto delle loro singole probabilità:

P(A ∩ B) = P(A) x P(B). 

Finora abbiamo calcolato probabilità molto semplici: un dado, due dadi, una moneta. Quando però il numero dei casi possibili diventa elevato, contarli uno per uno è impossibile. È qui che entra in gioco il calcolo combinatorio, che ci permette di determinare rapidamente quanti casi favorevoli e quanti casi possibili esistono, senza doverli elencare tutti.

Tre sono gli strumenti fondamentali della combinatoria: le permutazioni, le disposizioni e le combinazioni. La differenza tra loro è semplice: dipende da quanti elementi scegliamo e se l’ordine conta o no. Teniamo a mente questa mappa, poi li vediamo uno per uno.

La Permutazione

Le permutazioni sono i modi in cui si possono ordinare n oggetti distinti in n posizioni diverse. Per esempio:

• Le permutazioni delle lettere A,B,C sono ABC ACB BAC BCA CAB CBA
• Il numero delle permutazioni di n oggetti distinti si calcola con il fattoriale n!, cioè il prodotto dei numeri naturali da 1 a n
• Il numero delle permutazioni di A,B,C è 3! = 3 x 2 x 1 = 6

Vediamo un po’ di altri esempi:

Quanti modi diversi ci sono per disporre 4 libri su una mensola?

La risposta è: n!
Ricordo ancora che “!” indica il fattoriale, cioè il prodotto di tutti i numeri interi positivi da 1 a n.

Soluzione: 4! (4 fattoriale) = 24 modi diversi

Quante permutazioni sono possibili in un insieme di 5 lettere?

5! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120

Ci sono 120 permutazioni possibili di 5 lettere.

Le Disposizioni

Finora abbiamo ordinato tutti gli elementi. Se invece scegliamo solo alcuni elementi da un insieme e l’ordine conta, parliamo di disposizioni semplici. La formula è n! / (n – r)!, dove n è il totale degli elementi e r è quanti ne scegliamo. Le disposizioni rappresentano un caso intermedio tra permutazioni e combinazioni: non utilizziamo tutti gli elementi disponibili, ma soltanto una parte di essi, mantenendo significativo l’ordine.

Quante disposizioni sono possibili tra 5 lettere prese a gruppi di 3?

n! / (n – r)!

dove “n” rappresenta il numero di oggetti totali (in questo caso, le 5 lettere), e “r” rappresenta il numero di oggetti che desideriamo scegliere e disporre in un ordine specifico (in questo caso, 3 lettere).

Quindi, sostituendo i valori, otteniamo:

5! / (5 – 3)! = 5! / 2! = (5 x 4 x 3 x 2 x 1) / (2 x 1) = 60

Quindi, ci sono 60 disposizioni possibili di 5 lettere prese a gruppi di 3. L’ordine conta: ABC è diverso da ACB, che è diverso da BAC, e così via.

È importante notare che, quando si sceglie un gruppo di oggetti da un insieme più grande, l’ordine in cui gli oggetti vengono scelti conta. Se l’ordine conta siamo nel caso delle disposizioni; se invece non ci interessasse, dovremmo utilizzare la formula delle combinazioni.

Il concetto di Combinazione

Le combinazioni sono i modi in cui si possono scegliere k oggetti tra n oggetti distinti senza tener conto dell’ordine. Per esempio,

• Le combinazioni di due lettere tra A,B,C sono AB AC BC
• Il numero delle combinazioni di k oggetti tra n oggetti distinti si calcola con il coefficiente binomiale C(n,k) = n! / (k! x (n-k)!)
• Il numero delle combinazioni di due lettere tra A,B,C è C(3 ,2) = 3! / (2! x (3 -2)!) = 3

Vediamo qualche altro esempio:

Quante sono le combinazioni possibili per un insieme di 10 persone prese a gruppi di 3?

Per calcolare il numero di combinazioni possibili per un insieme di 10 persone prese a gruppi di 3, possiamo utilizzare la formula delle combinazioni:

n! / (k! * (n – k)!)

dove “n” rappresenta il numero di oggetti totali (in questo caso, le 10 persone) e “k” rappresenta il numero di oggetti che vogliamo scegliere senza preoccuparci dell’ordine (in questo caso, 3 persone).

Quindi, sostituendo i valori, otteniamo:

10! / (3! * (10 – 3)!) = (10 x 9 x 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1) / ((3 x 2 x 1) * (7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1)) = 120

Una classe è composta da 12 ragazzi e 4 ragazze. Tra i sedici allievi se ne scelgono tre a caso: qual è la probabilità che essi siano tutti maschi?

Questo esempio è preso dall’ Esame di stato, tema di matematica n 1 (PNI, a. s. 2000-2001- Corso di ordinamento. Liceo scientifico)

La probabilità di scegliere tre allievi tutti maschi può essere calcolata come il rapporto tra il numero di modi in cui possiamo scegliere tre maschi e il numero totale di modi in cui possiamo scegliere tre studenti tra tutti i sedici.
Se vogliamo scegliere tre allievi tutti maschi, dobbiamo considerare tutti i possibili gruppi di 3 allievi maschi che possono essere formati scegliendoli tra i 12 ragazzi maschi.

Il numero di modi in cui possiamo scegliere tre maschi dalla classe di 12 ragazzi è dato dalla combinazione di 3 elementi scelti tra i 12 ragazzi maschi. Calcoliamolo con la formula della combinazione:

C(12, 3) = 12! / (3! * (12-3)!) = 220

Il numero totale di modi in cui possiamo scegliere tre allievi dalla classe di 16 studenti è dato dalla combinazione di 3 elementi scelti tra i 16 allievi.

C(16, 3) = 16! / (3! * (16-3)!) = 560

Quindi, la probabilità di scegliere tre allievi tutti maschi è data da:

P(tre maschi) = C(12, 3) / C(16, 3) = 220 / 560 = 11 / 28

Un esempio concreto: scegliere le keyword per una landing page

Vediamo ora un esempio che forse tocca più da vicino il lavoro di chi si occupa di analisi dati e SEO. Supponiamo di avere un elenco di 15 keyword e di volerne scegliere 3 come focus di una landing page.

Scenario 1: mi interessa solo sapere quali keyword scegliere
L’ordine non conta: il gruppo {SEO tecnica, ottimizzazione contenuti, link building} è lo stesso di {link building, SEO tecnica, ottimizzazione contenuti}.
Si tratta di una combinazione: C(15, 3) = 455 modi diversi.

Scenario 2: voglio stabilire anche l’ordine nel title
Se la prima keyword deve andare nel title, la seconda nell’H1 e la terza nel body, allora l’ordine conta. Lo stesso gruppo di keyword in ordine diverso produce una pagina diversa.
Si tratta di una disposizione: 15! / (15-3)! = 2730 modi diversi.

La differenza è sostanziale: 455 possibilità se l’ordine non conta, 2730 se conta. Questo è il motivo per cui è essenziale capire prima di tutto se l’ordine è rilevante nel problema che stiamo affrontando.

Errore comune
Molti studenti — e non solo — confondono permutazioni e combinazioni. Il criterio più semplice per distinguerle è chiedersi: se scambio l’ordine degli elementi, ottengo un risultato diverso?

Se sì, l’ordine conta: stiamo lavorando con permutazioni o disposizioni.
Se no, l’ordine non conta: siamo nel caso delle combinazioni.

Questa domanda è tutto ciò che serve per non sbagliare.

Come scegliere la formula giusta

Devo ordinare tutti gli elementi? → Permutazioni: n!
Devo sceglierne alcuni e l’ordine conta? → Disposizioni: n!/(n-r)!
Devo sceglierne alcuni e l’ordine non conta? → Combinazioni: C(n,k)

Con questo schema, affrontare qualsiasi problema di calcolo combinatorio diventa molto più semplice: basta identificare il tipo di domanda e applicare la formula corrispondente.

La distribuzione binomiale come esempio di applicazione della probabilità e della combinatoria

In un post specificamente dedicato alle distribuzioni di probabilità ho esaminato in dettaglio le proprietà della distribuzione binomiale. Rimando ovviamente al post per tutti i dettagli.
In questa sede vorrei però introdurla brevemente in maniera diretta e pratica, al solo scopo di rispondere a quesiti del tipo:

• Qual è la probabilità che in 10 lanci di una moneta esca testa 5 volte o meno?
• Se in 20 domande a risposta multipla (ogni domanda ha 4 scelte) rispondiamo totalmente a caso, qual è la probabilità di rispondere correttamente a 15 o più?
• In 100 estrazioni con reinserimento da un’urna con 10 palline bianche e 90 nere, qual è la probabilità di estrarne meno di 20 bianche?

Prendiamo il primo quesito. Vogliamo sapere la probabilità che in 10 lanci di una moneta esca testa 5 volte o meno.
Procedendo per logica, dovremmo calcolare la somma delle probabilità binomiali per k = 0, 1, 2, 3, 4 e 5. Cioè:

P(X <= 5) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) + P(X = 3) + P(X = 4) + P(X = 5)

Usando la formula della probabilità binomiale e sostituendo n = 10 e p = 1/2, si ottiene:

P(X <= 5) = C(10 ,0) x (1/2)^0 x (1/2)^10 + C(10 ,1) x (1/2)^1 x (1/2)^9 + … + C(10 ,5) x (1/2)^5 x (1/2)^5

Semplificando i calcoli e usando una calcolatrice si ottiene:

P(X <= 5) = <0.001 + <0.01 + <0.04 + <0.12 + <0.21 + <0.25

P(X <= 5) = 0.63

Quindi la probabilità che in 10 lanci di una moneta esca testa al massimo cinque volte è circa il 63%.

Esiste un metodo più semplice per arrivare al risultato corretto?

Possiamo introdurre la funzione di ripartizione della distribuzione binomiale.

La funzione di ripartizione è una funzione che calcola la probabilità che la variabile aleatoria X sia minore o uguale a un certo valore k. Si indica con F(k) e si definisce come:

F(k) = P(X <= k) = somma delle probabilità binomiali per i = 0, 1, …, k

Questa funzione può essere calcolata con una formula approssimata o con una tabella precompilata. Per esempio, usando una tabella online come questa:

https://www.statisticshowto.com/tables/binomial-distribution-table/

dove si può trovare il valore di F(5) per n = 10 e p = 1/2.

Basta cercare nella riga corrispondente a n = 10 e nella colonna corrispondente a p = 0.5 e leggere il valore in corrispondenza di k = 5. Il valore è 0.623.

Ovviamente, è molto più comodo usare R oppure Python, specialmente per numeri più elevati.

Calcoliamolo in R con la funzione pbinom, che restituisce la probabilità cumulativa di un dato numero di successi in un dato numero di prove:

# Probabilità di ottenere 5 o meno teste in 10 lanci
pbinom(5, size = 10, prob = 0.5)
# Risultato: 0.6230469

Lo stesso calcolo in Python si fa con la classe binom della libreria scipy.stats:

# Importare la libreria
from scipy.stats import binom

# Probabilità di ottenere 5 o meno teste in 10 lanci
binom.cdf(5, n = 10, p = 0.5)
# Risultato: 0.623046875

Passiamo al secondo quesito.

Vogliamo calcolare la probabilità che in 20 domande a risposta multipla si risponda correttamente a 15 domande o più. Se assumiamo che ogni domanda abbia 4 opzioni e solo una sia corretta, allora la probabilità di successo è p = 0.25. Quindi si deve calcolare:

P(X >= 15) = P(X = 15) + P(X = 16) + P(X = 17) + P(X = 18) + P(X = 19) + P(X = 20)

La formula della probabilità binomiale è:

Usando la formula della probabilità binomiale, otteniamo:

Quindi la probabilità è molto, molto bassa… meglio studiare!

Passiamo al terzo quesito.

Vogliamo trovare la probabilità che in 100 estrazioni da un’urna con 10 palline bianche e 90 nere se ne estraggano meno di 20 bianche. Se assumiamo che le estrazioni siano con reinserimento, allora la probabilità di successo (estrarre una pallina bianca) è p = 0.1. Quindi dobbiamo calcolare:

Quindi in questo caso la probabilità è molto alta.

Queste sono le basi — spazio campionario, eventi, permutazioni, disposizioni, combinazioni, e un primo assaggio della binomiale. Strumenti all’apparenza semplici, ma su cui si regge gran parte della statistica che useremo nel lavoro quotidiano. Nel prossimo articolo sulla distribuzione binomiale approfondiamo proprio questa funzione di distribuzione, vedendo come calcolarla e quando applicarla — e scopriremo che non è affatto così complessa come potrebbe sembrare a prima vista.

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Per approfondire

Per consolidare le basi del ragionamento probabilistico consigliamo due letture complementari: L’arte della statistica di David Spiegelhalter per l’inquadramento concettuale, e Finalmente ho capito la statistica di Maurizio De Pra per chi preferisce un percorso graduale e ricco di esempi.